nie jest więc zbieżny.
Dowód Bradleya Bradley podał w roku 2000D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651. następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby spełniona jest nierówność
a stąd
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
Ponieważ
zachodzi
Ciąg liczb harmonicznych Ciąg liczb harmonicznych jest rozbieżny do ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
gdzie = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby jest dane wzorem
Niektóre uogólnienia Uogólniony szereg harmoniczny postaci
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach
Euler udowodnił rozbieżność szeregu
gdzie jest -tą liczbą pierwszą.
Szeregi harmoniczne wyższych rzędów Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:
Szereg ten jest zbieżny dla i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta Riemanna:
Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb.