funkcja Dirichleta).
Dla zachodzą następujące własności: ma granice lewostronną i prawostronną w każdym punkcie dziedziny; ma granicę w nieskończoności (tak jak i ) będącą liczbą rzeczywistą, bądź lub może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju; może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.
Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są: jeżeli jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na tzn. zbiór liczb takich, że nie jest różniczkowalna w jest miary zero Lebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku; jeżeli jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale to jest ona całkowalna w sensie Riemanna.
Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa:
jest funkcją (słabo) rosnącą.
Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.