w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotneWspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi). o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).
Charakteryzacje
Niech będzie grupą; podzbiór który tworzy grupę ze względu na działanie określone na nazywa się podgrupą grupy i oznacza zwykle Dokładniej: niech oraz będą grupami; jest podgrupą gdy jest podzbiorem oraz dla wszystkich W szczególności wynika stąd, że elementy neutralne oraz są tożsame. Otóż niech będzie podgrupą a oznaczają elementy neutralne odpowiednio wówczas oraz czyli a więc istnienia elementu odwrotnego do (z własności skracania) w jest co oznacza, że element neutralny grupy należy do jej dowolnej podgrupy (zob. dalej).W ogólności nie wyróżnia się działań grupy i podgrupy, oznaczając je tym samym symbolem..