Zbiór liczb rzeczywistych (z normą „wartość bezwzględna”) jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.
podczas gdy szereg
jest rozbieżny.
Baza przestrzeni Banacha Niech będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu istnieje taki ciąg skalarów że
Jeśli istnieje baza przestrzeni to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.
Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).
Baza Schaudera
Niech będzie ciągiem elementów przestrzeni Jeśli istnieje taki ciąg elementów przestrzeni sprzężonej że dla oraz dla każdy element można przedstawić jednoznacznie w postaci
to ciąg nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni natomiast ciąg nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z