takich, których obraz jest skończenie wymiarową podprzestrzenią ) oraz jego domknięcie, ideał operatorów aproksymowalnych, ideał operatorów zwartych, ideał operatorów słabo zwartych, ideał operatorów ściśle singularnych, ideał operatorów, których obraz jest ośrodkową podprzestrzenią ideał operatorów Hilberta-Schmidta (w teorii przestrzeni Hilberta).
oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu oraz ideałem operatorów Hilberta-Schmidta, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się operatory Fredholma, operatory nuklearne.
Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne
Jeżeli jest przestrzenią unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem (czasem również ) i nazywa przestrzenią sprzężoną do Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w oznaczanej symbolem tj.