Przestrzeń jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg
jest ciągiem Cauchy’ego punktów (ciągów) z przestrzeni który jest zbieżny w przestrzeni do ciągu
a zatem przestrzeń nie jest przestrzenią Banacha.
Przestrzenie Lp, przestrzenie Lorentza
Dla ustalonego oraz dowolnej przestrzeni z miarą ( ) przestrzeń funkcji całkowalnych w -tej potędze na jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie ciągów sumowalnych w -tej potędze na zbiorze Ogólniej, przestrzenie Lorentza i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.
Operatory liniowe ograniczone Przestrzeń liniowa wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha w przestrzeń Banacha z normą
jest przestrzenią Banacha. Gdy to norma operatorowa wyraża się wzorem
Przestrzeń z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały: ideał operatorów skończonego rzędu (tzn.