Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości w postaci normy i metryki.
Z interpretacji geometrycznej wynika, iż standardowy iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometrie: obroty, odbicia (w przypadku przestrzeni afinicznych: przekształcenia afiniczne zachowujące początek przestrzeni). Przekształcenia liniowe, które zachowują powyższe własności, a w ogólności: przekształcenia, które zachowują iloczyn skalarny, nazywa się przekształceniami unitarnymi lub ortogonalnymi, a macierze tych przekształceń – macierzami unitarnymi lub ortogonalnymi. Innymi słowy przekształcenia unitarne przeprowadzają bazy ortonormalne na bazy ortonormalne, tj. zachowują normy wektorów (są izometriami) i kąty między nimi (są przekształceniami równokątnymi zachowującymi orientację), w szczególności mają jednostkowy wyznacznik i ślad równy stopniowi macierzy.
Przestrzenie unitarne
Przestrzeń wielomianów jednej zmiennej bądź przestrzeń funkcyjną funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach rzeczywistych określonych na odcinku jednostkowym mają nieskończone bazy (różnych mocy;