jeżeli
to funkcja charakterystyczna dana jest iloczynem
Tw. Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a
gdzie to funkcja charakterystyczna dana jest iloczynem
W szczególności co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):
Rozkłady wielowymiarowe Jeżeli zaś jest wektorem losowym, a przez rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora definiuje się analogicznie wzorem
lub w zapisie macierzowym
gdzie oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).
Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego wyraża się przez wzorem postaci:
gdzie jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś
Zmienne losowe są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych zbiega według rozkładu do wektora wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega według rozkładu do dla każdego
Zobacz też funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera) funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a) funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata) kumulanta Przypisy