Zawsze przy czym oraz Symbol oznacza indykator zbioru
{| class="wikitable" ! Nazwa || Oznaczenie || Rozkład || Funkcja charakterystyczna |- | jednopunktowy || || || |- | dwupunktowy || || || |- | Poissona || || || |- | dwumianowy || || || |- | geometryczny || || || |- | jednostajny (na odcinku)|| || || |- | wykładniczy || || || |- | normalny || || || |- | normalny standardowy|| || || |- |gamma (dwuparametrowy)
Momenty Z funkcji charakterystycznej da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.
Twierdzenie Jeżeli istnieje -ty moment zmiennej losowej tzn. to istnieje również -ta pochodna funkcji charakterystycznej co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi
Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli to
Twierdzenie Jeżeli istnieje -ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie oraz to istnieje -ty moment tej zmiennej losowej.
Kryteria określające funkcje charakterystyczne Kryterium określającego kiedy funkcja jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.