Na obrazku przedstawiono początkowe liczby trójkątne, bez Wzór Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i -tego pomnożona przez liczbę wyrazów :
Zbliżony wzór podał Leonardo z Pizy (Fibonacci) w roku 1202, w dziele Liber abaci (rozdział II.12). Być może Carl Friedrich Gauss niezależnie zauważył powyższy fakt jako siedmiolatek [dostęp 2025-10-10].MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz , natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek..
Dowód Wyraźmy sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami: oraz
(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).
Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy
a stąd
i
Pamiętając, że powyższą równość możemy przekształcić do: