Тричі відсічений ікосаедр () є одним із многогранників Джонсона ( або (за Залгаллером).
Многогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих многогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним многогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні многогранники названі ім'ям , який першим перелічив їх в 1966 р.
Тричі відсічений ікосаедр складений з 8 граней (а тому є неправильним октаедром): 2+3 = 5 правильних трикутників і 3 правильних п'ятикутників.
Кожна п'ятикутна грань оточена двома п'ятикутними та трьома трикутними гранями; одна трикутна грань оточена трьома п'ятикутними гранями; ще одна трикутна грань оточена трьома трикутними гранями; три трикутні грані оточені двома п'ятикутними та однією трикутною гранню.
Має 15 ребер однакової довжини.
3+6=9 ребер розташовані між п'ятикутною та трикутною гранями, 3 ребра розташовані між двома п'ятикутними гранями, 3 ребра — між двома трикутними гранями.
У тричі відсіченого ікосаедра 9 вершин: 3+3=6 вершини оточені двома п'ятикутними і однією трикутною гранями; 3 вершини оточені однією п'ятикутною та трьома трикутними гранями.
Тричі відсічений ікосаедр має одну вісь поворотної симетрії 3-го порядку, що проходить через центри двох паралельних трикутних граней; а також три площини дзеркальної симетрії, які проходять через вісь симетрії та вершини трикутних граней.
Центру симетрії не має.
Тричі відсічений ікосаедр є одним з елементарних многогранників Джонсона.
Опуклий многогранник з правильними гранями є елементарним, якщо його неможливо розділити площиною на два менших опуклих многогранники з правильними гранями.
Тобто цей многогранник не утворений шляхом поєднання інших елементарних многогранників між собою, чи з призмами, антипризмами, або нарощенням на гранях тіл Платона чи Архімеда інших многогранників.
При відсутності умовних ребер (окрім призм та антипризм) всього існує 28 елементарних многогранників з правильними гранями.
Назва Цей многогранник утворено з правильного ікосаедра видаленням трьох несусідніх його вершин разом із ребрами та гранями, що їх оточують (відсікаються три п'ятикутні піраміди). На їх місці виникають п'ятикутні грані. Звідси й назва —тричі відсічений ікосаедр.
Формули У всіх формулах нижче: — відношення «золотого перетину».
Діагоналі Кількість діагоналей опуклого многогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер многогранника. Для тричі відсіченого ікосаедра:
діагональ (15 граневих та 6 просторових).
Діагоналі тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра Граневі діагоналі≈ 1.618033988Просторові діагоналі≈ 1.618033988≈ 1.902113032
Метричні характеристики
Для тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра :Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини) ≈ 0.951056516Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)≈ 1.538841769Вписаної сфери тричі відсічений ікосаедр не маєВисота H(Відстань між паралельними трикутними гранями)≈ 1.511522628Площа поверхні≈ 7.326495711Об'єм≈ 1.277186493 Радіуси описаної та напіввписаної сфер мають таке ж значення як і в правильному ікосаедрі з тою ж довжиною ребра, а їх центри лежать на осі симетрії многогранника посередині між паралельними трикутними гранями.
Центр масс тричі відсіченого ікосаедра лежить на його осі симетрії на відстані від нижньої основи (трикутна грань, що оточена трьома п'ятикутними).
Кути Плоскі кути граней при вершині: 60°, 108°. Кути многогранникаДвогранний кут між гранями {3} та {3}≈ 2.411864997 rad ≈ 138°11′ 22.86638′′Двогранний кут між гранями {3} та {5}≈ 1.7595068 rad ≈ 100°48′44.34107′′Двогранний кут між гранями {5} та {5}≈ 1.1071487 rad ≈ 63°26′ 5.81576′′Тілесний кут при вершині 3.3.3.5≈ 2.0595584 срТілесний кут при вершині 3.5.5 ≈ 1.4845698 срСферичність
Координати вершин Координати вершин тричі відсіченого ікосаедра з довжиною ребра a = 1:
, — ці координати задають три вершини верхньої трикутної грані, яка оточена трикутниками. , — ці координати задають три вершини 3.3.3.5, що лежать між паралельними трикутними гранями. , — ці координати задають три вершини нижньої трикутної грані, яка оточена п'ятикутниками.
При цьому вісь симетрії тричі відсіченого ікосаедра збігається з віссю координат Oz, площина Oxz збігається з однією з плошин симетрії многогранника, а початок координат збігається з центром описаної та напіввписаної сфер.
Вершини многогранника лежать в трьох паралельних площинах, і в кожній з них формують правильний трикутник. Відстані між цими площинами:
Двоїстий многогранник Тричі відсічений ікосаедр не має канонічно-двоїстого многогранника (середньовписані сфери обох многогранників співпадають).
Його топологічно-двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані початкового многогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині початкового — грань двоїстого, з дотриманням симетрії початкового многогранника), а тому форми та розміри двоїстого многогранника до початкового тричі відсіченого ікосаедра можуть різнитися.
Двоїстий до тричі відсіченого ікосаедра, три-тригонально відсічений ікосаедр (Tri-tridiminished icosahedron, dJ63) ,
має 9 граней: 3 дельтоїди, 3+3=6 рівнобедрених трикутників; 15 ребер, 8 вершин. Двоїстий многогранникПоєднання тричі відсіченого ікосаедра та його двоїстогоРозгортка двоїстого
Пов'язані многогранники До трикутної грані тричі відсіченого ікосаедра (яка оточена п'ятикутниками) можна приєднати правильний тетраедр. При цьому утвориться правильногранний многогранник Джонсона — нарощений тричі відсічений ікосаедр.
Тричі відсічений ікосаедр є вершинною фігурою однорідного політопа 4-вимірного простору — кирпатого 24-комірника s{3, 4, 3} ( snub 24-cell).
Примітки
Література (Містить оригінальне перерахування 92 тіл і гіпотезу, що інших немає.) (Перше доведення, що існує тільки 92 тіл Джонсона.)
Посилання
McCooey, David. Klitzing, Richard. «teddi». Quickfur. «The Tridiminished Icosahedron»