КласифікаціяПозначення • dA5 (в )Група поворотів D5, [5,2]+, (522), порядок 10Двоїстий багатогранникП'ятикутна антипризма П'ятикутний трапецоедр (п'ятикутний дельтоедр, п'ятикутний антитегум Джонатан Бауверс.) — опуклий напівправильний рівногранний багатогранник, двоїстий до однорідної п'ятикутної антипризми.
Цей багатогранник є напівправильним багатогранником, а отже, володіє такими властивостями:
Всі грані є рівними багатокутниками (дельтоїди); Для будь-якої пари граней A і B існує симетрія всього тіла (тобто рух, що складається з поворотів та віддзеркалень), яка переводить A в B.
Він має 10 граней (тобто це ), які є конгруентними дельтоїдами з трьома рівними кутами; всі двогранні кути рівні між собою.
Має 12 вершин: в 10 вершинах сходяться своїми більшими кутами по 3 грані (10 вершин 3-го степеня), у 2 вершинах сходяться своїми меншими кутами по 5 граней (2 вершини 5-го степеня).
Вершини п'ятикутного трапецоедра розташовані в чотирьох паралельних площинах.
П'ятикутний трапецоедр є третім у нескінченному ряду рівногранних багатогранників, що є двоїстими до однорідних антипризм. +
Його можна розкласти на дві прямі п'ятикутні піраміди і неоднорідну п'ятикутну антипризму між ними. Його також можна розкласти на дві п'ятикутні піраміди та додекаедр між ними.
Тобто 5-трапецоедр можна отримати з правильного додекаедра шляхом нарощення на двох його протилежних гранях п'ятикутних пірамід.
5-трапецоедр також існує у вигляді сферичного багатогранника з 2 вершинами на полюсах і вершинами, що чергуються, які рівномірно розташовані над і під екватором.
Формули У всіх формулах нижче: — відношення пропорції «золотого перетину». ().
Грань 5-трапецоедра Відношення між коротким та довгим ребрами 5-трапецоедра: Гострий кут дельтоїда: ;
Тупий кут:
Площа грані:
Діагоналі Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ,
де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.
Для п'ятикутного трапецоедра: діагоналей (20 граневих та 26 просторових). Діагоналі 5-трапецоедра з довжиною короткого ребра Граневі діагоналі Просторові діагоналі
Метричні характеристики Якщо коротке ребро 5-трапецоедра дорівнює , то:Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)Описаної сфери 5-трапецоедр не маєРадіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня та, відповідно, 5-го степеня)= радіусу описаної сфери вписаного додекаедраПлоща поверхніОб'єм
Якщо ребро канонічно двоїстої 5-антипризми дорівнює , то для 5-трапецоедра справедливі формули:Довжини реберГраневі діагоналіПлоща граніРадіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)Радіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня
та відповідно, 5-го степеня)Площа поверхніОб'єм
Кути Кути багатогранникаДвогранний кут між гранями≈ 2.034443935795 rad ≈ 116° 33′ 54.18423748′′Тілесний кут при вершині 5-го степеня срТілесний кут при вершині 3-го степеня ср
Граф п'ятикутного трапецоедра
В теорії графів граф п'ятикутного трапецоедра — це граф з 12 вершинами та 20 ребрами, що має кістяк 5-трапецоедра.
10 вершин мають степінь 3, 2 вершини мають степінь 5.
Деякі властивості: двочастковий, планарний, багатогранний, досконалий, без трикутників, однозначно розфарбовуваний, простежуваний
Граф є Гамільтоновим і має гамільтонових циклів та гамільтонових шляхів.
Споріднені багатогранники П'ятикутний трапецоедр належить до нескінченного ряду рівногранних багатогранників, двоїстих однорідним антипризмам.
Примітки
Джерела
Посилання Generalized formula of uniform polyhedron (trapezohedron) having 2n congruent right kite faces from Academia.edu
sv:Tärning#Tiosidig tärning