Зада́ча про гарма́тні я́дра () — задача про знаходження числа гарматних ядер, які можна вкласти і в один шар у формі квадрата, і у формі піраміди з квадратом в основі, тобто про знаходження квадратних чисел, які також є квадратними пірамідними числами. Знаходження цього числа зводиться до розв'язання діофантового рівняння або . Рівняння має два розв'язки: і , тобто одне гарматне ядро, і і тобто 4900 гарматних ядер.

Історія задачі Питання вкладання гарматних ядер цікавили вже сера Волтера Релі та його сучасника Томаса Герріота, однак у наведеній вище формі задачу сформулював в 1875 року Едуар Люка, який припустив, що крім і розв'язків немає. Часткові доведення запропонували Море-Блан (1876) та сам Люка (1877). Перше повне доведення запропонував (1918); у доведенні використано еліптичні функції. Ще одне доведення, з використанням рівняння Пелля, запропонував (1952). Доведення з використанням лише елементарних функцій запропонували Ма (1985) та Енглін (1990).

Доведення

Доведення Вотсона Доведення Вотсона ґрунтується на спостереженні, що з трьох чисел , і одне має ділитися на 3; і або , або є парним; і що решта множників мають бути квадратами. Тому можливі шість варіантів:

Однак, оскільки при діленні на 3 може мати лише остачу 0 або 2, перший варіант призводить до суперечності. Аналогічно можна виключити другий, третій та четвертий варіанти.

П'ятий варіант приводить до розв'язку . Справді, можливо тільки при непарному , і тобто існують цілі числа і , такі що або . Однак, приводить до суперечності . Отже, , тобто, і . Як показав , і є єдиними розв'язками останньої системи рівнянь. Випадок неможливий, оскільки ; випадок приводить до . Альтернативне доведення єдиності розв'язку у цьому випадку, наведене в розділі 6.8.2 книги Коена, використовує те, що розв'язками є тільки .

Доведення відсутності нетривіальних розв'язків у шостому варіанті потребує застосування еліптичних функцій. Дійсно, шостий варіант можна звести до вигляду . Замість цих рівнянь Вотсон розглядає загальніший випадок і показує, що розв'язки цих рівнянь мають задовольняти , де  — невід'ємне ціле число, задана , , , а , , і  — еліптичні функції Якобі. Далі Вотсон доводить, що чисельно дорівнює одиниці, тільки якщо , тобто , і єдиний можливий у цьому випадку розв'язок .

Доведення Ма Доведення єдиності наведених вище розв'язків, запропоноване Ма, ґрунтується на послідовному доведенні таких тверджень:

Єдиним парним розв'язком задачі про укладання ядер є . Дійсно, парність дозволяє виключити варіанти 1, 4 і 6 з довдення Вотсона, варіанти 2 і 3 призводять до суперечності (див. доведення Вотсона), а  — єдиний розв'язок, можливий для варіанту 5. Нехай . Тоді для невід'ємних , має вигляд тільки для . Єдиним непарним , що задовольняє задачі про укладання ядер, є . Справді, міркуючи аналогічно доведенню Вотсона, непарне має задовольняти варіанту 6, тобто, . Оскільки для будь-якого , і , це також справедливо для . Підставляючи і замість і , отримаємо , тобто, . Оскільки породжує групу одиниць , існує таке, що , де визначено вище, а . Оскільки додатне, і, за визначенням , . За попередньою лемою, , тобто і .

Подробиці доведення наведено в розділі 6.8.2 книги Коена.

Узагальнення задачі За винятком тривіального випадку , не існує числа гарматних ядер, які можна було б укласти у вигляді піраміди з квадратом у основі, і яке б при цьому одночасно було кубом, четвертим або п'ятим степенем натурального числа. Більш того, це справедливо для укладання ядер у вигляді правильного тетраедра.

Іншим узагальненням задачі є питання про знаходження числа ядер, які можна укласти у формі квадрата та зрізаної піраміди з квадратом у основі. Тобто шукають послідовних квадратів (не обов'язково починаючи з 1), сума яких є квадратом. Відомо, що множина таких нескінченна, має асимптотичну щільність нуль і для , які є квадратами, існує нескінченно багато розв'язків. Число елементів множини , що не перевищують , оцінюється як . Перші елементи множини та відповідні найменші значення , такі що є квадратом, наведено в таблиці:

Для і розв'язком є піфагорова трійка . Для і розв'язком є наведений вище розв'язок задачі про укладання гарматних ядер. Послідовність елементів множини  — .

Ще одне узагальнення завдання розглянули Канеко і Татібана: замість питання про рівність суми перших квадратних чисел та іншого квадратного числа вони розглянули питання про рівність суми перших багатокутних чисел та іншого багатокутного числа і показали, що для будь-якого існує нескінченно багато послідовностей перших -кутних чисел, таких що їх сума дорівнює іншому багатокутному числу, і що для будь-якого існує нескінченна кількість -кутних чисел, подаваних у вигляді суми послідовностей перших багатокутних чисел. Більш того, Канеко та Татібана встановили, що для будь-якого натурального виконуються такі відношення:

де  — -е -кутне число, а  — -е -кутне пірамідне число, тобто, сума перших -кутних чисел.

Зв'язок з іншими галузями математики Нетривіальний розв'язок призводить до побудови ґратки Ліча (яка, у свою чергу, пов'язана з різними галузями математики та теоретичної фізики — теорією бозонних струн, монстром). Це робиться за допомогою парної унімодулярної ґратки у 25+1-вимірному псевдоевклідовому просторі. Розглянемо вектор цієї ґратки . Оскільки і  — розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, цей вектор — світлоподібний, , звідки, зокрема, випливає, що він належить власному ортогональному доповненню . Згідно з Конвеєм, вектор дозволяє побудувати ґратку Ліча

як фактор-множину , яка коректно визначена завдяки світлоподібності ; як множину всіх векторів таких, що . Такі вектори утворюють множину так званих фундаментальних коренів ґратки . У всіх випадках, коли можна таким способом побудувати множину фундаментальних коренів парної унімодулярної ґратки у псевдоевклідовому просторі , завжди можна використати цілочисловий вектор із просторовими компонентами, що йдуть підряд від нуля; а щоб ця множина утворювала ґратку, цей вектор має бути світлоподібним. І, оскільки  — єдиний нетривіальний розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, то 24-вимірна ґратка Ліча — єдина ґратка, яку можна в такий спосіб отримати з .

Див. також Щільне пакування рівних сфер

Примітки