У математиці періодична послідовність — це послідовність, у якій ті самі терми повторюються знову і знову:
a1, a2, ..., ap, a1, a2, ..., ap, a1, a2, ..., ap, ...
Кількість р повторюваних доданків називають періодом.
Визначення (Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a1, a2, a3, ..., у якій
an+p = an
для всіх значень n. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом або точним періодом.
Приклади Кожна стала функція є 1-періодичною.
Послідовність є періодичною з найменшим періодом 2.
Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:
Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче).
Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:
Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі.
Періодична точка для функції — точка , орбіта якої
є періодичною послідовністю. Тут, означає композицію , застосовану до . Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.
Тотожності
Часткові суми
, де k і m<p — натуральні числа.
Часткові добутки
, де k і m<p — натуральні числа.
Періодичні послідовності нулів і одиниць Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:
— період 1,
— період 2,
— період 3,
— період .
Узагальнення Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:
1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...
Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову для деякого r і достатньо великого k.
Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x1, х2, х3, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a1, a2, a3, ... для якої
Наприклад, послідовність
1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, . . .
є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....
Примітки