Однорі́дний зірча́стий многогра́нник — самоперетинний однорідний многогранник. Ці многогранники називають також неопуклими многогранниками, підкреслюючи наявність самоперетинів. Кожен многогранник може мати грані у вигляді зірчастих многокутників або зірчасті вершинні фігури, але може містити і те, й інше.
Повний набір 57 непризматичних однорідних зірчастих многогранників включає 4 правильних, званих тілами Кеплера — Пуансо, 5 квазіправильних, і 48 напівправильних.
Існує також дві нескінченні множини однорідних зірчастих призм і антипризм.
Так само, як (невироджені) зірчасті многокутники (які мають більшу 1) відповідають круговим многокутникам з перекривними частинами, зірчасті многогранники, які не проходять через центр, мають щільність більшу 1, і відповідають сферичним многогранникам із перекривними частинами. Існує 48 таких непризматичних однорідних зірчастих многогранників. Решта 9 непризматичних однорідних зірчастих многогранників мають грані, що проходять через центр, є і не відповідають сферичним многогранникам, оскільки центр не можна однозначно спроєктувати на сферу.
Неопуклі форми будують із трикутників Шварца.
Всі трикутники, перераховані нижче, згруповано за їхніми групами симетрії, а всередині згруповано за розташуванням вершин.
Правильні многогранники позначено їхніми символами Шлефлі. Для інших, неправильних однорідних многогранників, зазначено їхню вершинну конфігурацію або номер однорідного многогранника (Uniform polyhedron index, U (1-80)).
Примітка: для неопуклих форм нижче наведено додатковий опис Неоднорідний, коли опукла оболонка має таку ж топологію, але має неправильні грані. Наприклад, неоднорідне скошування (видалення ребер) може дати на місцях віддалених ребер прямокутник, а не квадрат.
Діедрична симетрія Див. Призматичний однорідний многогранник.
Тетраедрична симетрія
Існує один неопуклий вид, тетрагемігексаедр, який має тетраедричну симетрію (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (3 3 2)).
Існує два трикутники Шварца, з яких утворюються унікальні неопуклі однорідні многогранники — прямокутний трикутник (3/232) і один трикутник загального вигляду (3/233). Трикутник (3/2 3 3) генерує , наведений нижче в розділі . (опукла оболонка) Неопуклі видиТетраедрСпрямлений тетраедрОктаедр(4.3/2.4.3)3/2 3 | 2Зрізаний тетраедр Скошений тетраедр(кубооктаедр) Всезрізаний тетраедр(зрізаний октаедр) Кирпатий тетраедр(ікосаедр)
Октаедрична симетрія
Існує 8 опуклих форм і 10 непуклих із (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (4 3 2)).
Існує чотири трикутники Шварца, які утворюють неопуклі форми, два прямокутні, (3/2 4 2) і (4/3 3 2), і два загального вигляду, (4/3 4 3) та (3/2 4 4). (опукла оболонка)Неопуклі видиКуб Октаедр Кубооктаедр4/3 4 | 33/2 3 | 3Зрізаний куб4.8/3.4/3.8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) |3 4 | 4/33/2 4 | 2Зрізаний октаедр Ромбокубооктаедр2 4 (3/2 4/2) |3/2 4 | 42 3 | 4/3Неодноріднийзрізаний кубооктаедр2 3 4/3 |Неоднорідний зрізаний кубооктаедр3 4 4/3 |Кирпатий куб
Ікосаедрична симетрія
Є 8 опуклих форм та 46 непуклих із ікосаедричною симетрією (з фундаментальною областю трикутник Мебіуса (5 3 2)) (або 47 неопуклих форм, якщо увести до складу багатогранник Скіллінга). Деякі неопуклі кирпаті види мають дзеркальну вершинну симетрію. (опукла оболонка)Неопуклі видиІкосаедр{5,5/2}{5/2,5}{3,5/2}Неодноріднийзрізаний ікосаедр2 5 |32 5/2 | 55/2 3 | 5/35/3 3 | 22 5/3 (3/2 5/4) |Неодноріднийзрізаний ікосаедр2 5 |35/2 5 | 25/3 5 | 32 3 (5/4 5/2) |Неодноріднийзрізаний ікосаедр2 5 |3| 5/2 3 3Ікосододекаедр2 | 3 53/2 3 | 5 5/4 5 | 5U54 2 | 3 5/25/3 5/2 | 5/33 3 | 5/3U362 | 5 5/2 5/3 5/2 | 35/4 5 | 3Зрізаний додекаедр2 3 | 5Неодноріднийзрізаний додекаедрДодекаедр{5/2,3}РомбоікосододекаедрДодекаедрзі знятими краямиНеодноріднийромбоікосододекаедрНеодноріднийромбоікосододекаедр(див. нижче)Неодноріднийромбозрізаний ікосододекаедрНеодноріднийромбозрізаний ікосододекаедрНеоднорідний зрізаний ікосододекаедрНеоднорідний кирпатий додекаедрU74
Тіло Скіллінга Ще один неопуклий многогранник — , відомий також як тіло Скіллінга, яке вершинно однорідне, але має спільні для граней пари ребер, так що чотири грані мають одне спільне ребро. Іноді його відносять до однорідних многогранників. Тіло має симетрію Ih.
Вироджені випадки Коксетер за допомогою побудови Вітгоффа визначив деяку кількість вироджених зірчастих многогранників, які мають ребра або вершини, що перекриваються. До цих вироджених форм належать:
Малий складений ромбоікосододекаедр Складений ромбододекододекаедр Великий складений ромбоікосододекаедр
Див. також Зірчастий многокутник Список однорідних многогранників Список однорідних многогранників за породжувальними трикутниками Шварца
Примітки
Література
Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El, Kaleido software, Images, dual images
Richard Klitzing, 3D, uniform polyhedra
Посилання