Поризм Понселе — класична теорема проєктивної геометрії. Названий на честь Жан-Віктора Понселе.
Історія Поризм Понселе відкрив французький математик Жан-Віктор Понселе в 1812—1814 роках, коли він перебував у полоні в Саратові. Там він написав (переважно) свій трактат про проєктивні властивості фігур, а також трактат з аналітичної геометрії (сім зошитів, виданих згодом — у 1862—1864 роках — під назвою «»).
Окремий випадок для трикутників випливає з теореми Ейлера.
Формулювання Нехай — многокутник з різними вершинами, вписаний у коніку та описаний навколо іншої коніки . Тоді для будь-яких точок коніки , таких, що і дотикається , існує многокутник , вписаний у та описаний навколо Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11..
Зауваження
Якщо коніка є колом, многокутники, вписані в одне коло й описані навколо іншого називають біцентричними многокутниками, так що це — особливий випадок поризму Понселе, який можна виразити лаконічно, враховуючи, що кожен біцентричний многокутник є частиною нескінченної множини біцентричних многокутників відносно одних і тих самих двох кілJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960)..
Алгебричне доведення Розглянемо множину пар вигляду «точка на зовнішній коніці й дотична, проведена з неї до внутрішньої». Цю множину можна визначити алгебричним рівнянням у добутку проєктивної площини і двоїстої до неї (тобто множини прямих на початковій площині), який є проєктивним завдяки вкладенню Сегре. Зрозуміло, що в загальній конфігурації отриманий алгебричний многовид буде невиродженою кривою. Обчислимо її рід за : цей многовид природно (відображенням забування прямої) проєктується на зовнішній конічний перетин, причому над спільною точкою висітиме два прообрази, і тільки в чотирьох точках — точках перетину конічних перетинів, існування яких гарантується теоремою Безу, — він має один прообраз, тобто він розгалужений у цих чотирьох точках, і лише в них. Отже, ейлерова характеристика накривної кривої дорівнює , тобто крива має рід 1 і, в силу невиродженості, є еліптичною кривою.
Стартуватимемо з якоїсь точки, проводячи дотичні. Маючи виділену точку старту та напрямок обходу, ми отримуємо послідовність пар типу «точка на зовнішній коніці та дотична, проведена з неї до внутрішньої». Зауважимо, що одній невиродженій точці на зовнішній коніці відповідають дві точки на еліптичній кривій (відповідні двом дотичним, що виходять з неї), і сума їх як точок еліптичної кривої дає відображення із зовнішньої коніки в еліптичну криву, яке є відображенням у точку, оскільки може бути піднятим на універсальну накривну — комплексну площину, де, через компактність сфери, воно буде обмеженим і, за теоремою Ліувілля, сталим. Отже, перекидання дотичної, що виходить з однієї точки, задається відображенням , де — стала. Аналогічно, перекидання точки, що лежить на дотичній, має вигляд , а їх композиція, таким чином, має вигляд ; але композиція — це побудова наступної сторони ланцюга за попередньою, і замикання ланцюга рівносильне тому, що лежить у скруті еліптичної кривої як групи за додаванням, і, отже, не залежить від початкової точки; так само від неї не залежить і порядок скруту, тобто число кроків, за яке ланцюг замкнеться.
Варіації та узагальнення
Теорема Келі Нехай — коло , а — еліпс . Тоді умова зациклювання ланцюга задається в термінах ряду Тейлора функції . (Кожен коефіцієнт обчислюється через і наприклад, .) А саме:
Ланцюг Понселе пари і зациклюється за кроків тоді й лише тоді, коли
Ланцюг Понселе пари і зациклюється за кроків тоді й лише тоді, коли
Теорема Шварца Нехай — ланцюг Понселе. Позначимо через пряму і розглянемо точки перетину . Тоді для будь-якого цілого
Усі точки лежать одному конічному перетині. Усі точки лежать одному конічному перетині.
Багатовимірний аналог Алгебричне підтвердження теореми Понселе спирається на те, що перетин двох квадрик у тривимірному проєктивному просторі — це еліптична крива. 1972 року у своїй дисертації довів узагальнення цього факту. Саме теорема Ріда стверджує, що многовид, який параметризує лінійні -вимірні підпростори в -вимірному проєктивному просторі, що лежать на перетині двох -вимірних квадрик (за умови, що цей перетин неособливий), є якобієвим многовидом деякої гіпереліптичної кривої (розгалуженого подвійного накриття раціональної кривої)Reid, M.: The complete intersection fo two or more quadrics. Thesis, Cambridge (GB) 1972. Цю гіпереліптичну криву можна побудувати як геометричне місце -вимірних підпросторів на перетині двох квадрик, які перетинають деякий фіксований -вимірний підпростір, що також лежить на перетині квадрик, за підпростором розмірності не менше . Якщо ці квадрики зведені до головних осей (тобто мають однорідні рівняннядля деяких коефіцієнтів ), то ця крива біраціонально ізоморфна кривій, заданій рівнянням зауважив, що закон додавання на такому многовиді можна визначати геометрично. Саме, якщо — якась квадрика з пучка, породженого нашими двома квадриками (позначимо їх як і ), і — два -вимірних підпростори, що лежать на і належать до одного й того ж зв'язного сімейства, і висікає на перетині двох квадрик два -вимірних підпростори і , то додавання однозначно визначається правилом (і вибором нуля)Donagi, R.: Group law on intersections of two quadrics. Preprint UCLA 1978. Наприклад, якщо , додавання точок на еліптичній кривій визначається так. Виберемо точку як нуль. Для того, щоб додати точки і , проведемо пряму і розглянемо квадрику з пучка, на якій ця пряма лежить (така квадрика єдина і її можна побудувати, наприклад, як об'єднання січних прямої , що двічі перетинають еліптичну криву). Пряма , як твірна двовимірної квадрики, належить до однопараметричного зв'язного сімейства. Виберемо із цього сімейства пряму , що проходить через точку . Друга точка перетину прямої з еліптичною кривою і буде шуканою сумою .
Див. також Поризм Штейнера — схоже твердження для ланцюжків кіл. Теорема Ейлера (планіметрія) включає окремий випадок поризму Понселе для .
Примітки
Література Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet's closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.
Посилання Живий кресленик. Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архівна копія від 27 лютого 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144. Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архівна копія від 27 квітня 2016 на Wayback Machine, Літня школа «Сучасна математика», 2014 м. Дубна.