Узага́льнена арифмети́чна прогре́сія — послідовність чисел або елементів довільної групи , подавана у вигляді
для деяких .
Пов'язана термінологія Прогресію називають власною, якщо всі числа вигляду різні, тобто вона містить елементів.
Рангом (або розмірністю) прогресії називають кількість доданків у поданні кожного елемента (в позначеннях вище — число ).
При узагальнену арифметичну прогресію також називають -вимірним кубом (оскільки в нього існує лінійне відображення з ).
При множина являє собою звичайну арифметичну прогресію.
Галузь використання Узагальнені арифметичні прогресії є конструкцією менш структурованою, ніж звичайна арифметична прогресія, проте їхня структура все ж нетривіальна (коли розмір прогресії великий, а ранг малий). Це робить їх зручним інструментом для вивчення та узагальнення теорем арифметичної комбінаторики, пов'язаних із виведенням структури з числових характеристик множини, таких як адитивна енергія, коефіцієнт подвоєння тощоМатематическая лаборатория имени П. Л. Чебышева, курс Харальда Хельфготта «Путешествие по современным областям анализа и теории чисел», лекция 2.
Деякі структурні теореми адитивної комбінаторики доводять існування узагальненої арифметичної прогресії досить малого рангу і великого розміру в достатньо впорядкованих множинах або можливість покриття такої множини узагальненою арифметичною прогресією невеликого рангу і невеликого (обмеженого деякою формулою від розміру множини) розміру.
Узагальнені арифметичні прогресії можна використати для доведення теореми Рота.
Взагалі, довести присутність у множині узагальнених арифметичних прогресій, виходячи з якихось відомих фактів про цю множину, часто легше, ніж довести присутність звичайних арифметичних прогресій.
Див. також Адитивна комбінаторика Теорема Фреймана
Примітки
Література