У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини , що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.
Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом ВарінгаJohnson et al. (1993). Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля.
Якщо параметри бета-розподілу є і , і якщо
де
тоді граничний розподіл має бета-негативний біноміальний розподіл:
У наведеному вище, є від’ємним біноміальним розподілом і є бета-розподіл.
Означення Якщо — ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:
.
Узагальнюючи можна записати
або
.
Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого можна переписати наступним чином:
.
У більш загальному вигляді можна записати
.
Вираження через символи Похамера Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа
Властивості
Неідентифіковність Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями і у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів , або й на обидва.
Зв'язок з іншими розподілами Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли . Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих і . Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих , і .
Важкохвостий За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих
це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні не існують.
Бета-геометричний розподіл Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при . У цьому випадку функція ймовірності спрощується до
.
Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).
Далі, коли бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо потім .
Див. також
Негативний біноміальний розподіл Негативний мультиноміальний розподіл Діріхле
Примітки
Список літератури
Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley (Section 6.2.3) Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211 Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160
Зовнішні посилання
Інтерактивна графіка: однофакторні співвідношення розподілу