-примарна (або -праймерна) абелева група (де — фіксоване просте число) — абелева група , така, що порядок будь-якого елемента з є степенем .
Приклади
— адитивна група класів залишків за модулю ; — адитивна група кільця многочленів над полем .
Властивості
Будь-яка періодична абелева група (тобто група без елементів нескінченного порядку) розкладається на пряму суму -примарних підгруп.
Примарна абелева група називається елементарною, якщо всі її ненульові елементи мають порядок рівний .
Абелева група є -примарною елементарною тоді й лише тоді, коли вона розкладається в пряму суму груп вигляду .
-висотою елемента називають найменше натуральне число , таке що . Якщо такого натурального не існує, то елемент має нескінченну -висоту.
Критерій : -примарна абелева група є прямою сумою циклічних груп тоді й лише тоді, коли є об'єднанням зростаючого ланцюжка підгруп
,
де -висоти ненульових елементів підгруп менші від фіксованого елемента .
Критерій Кулікова узагальнює теореми :
Перша теорема Прюфера: Обмежена -примарна (періодична) абелева група є прямою сумою циклічних підгруп. Друга теорема Прюфера: Зліченна -примарна абелева група розкладається в пряму суму циклічних підгруп тоді й лише тоді, коли вона не містить ненульових елементів нескінченної -висоти.
Література