Двовимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з однією уявною одиницею.
Тобто числа виду де — дійсні числа; — уявна одиниця.
Визначимо операції: — спряжене число, — норма числа, — ділення чисел.
Формальне визначення Двовимірні гіперкомплексі числа — двовимірні алгебри з одиницею над полем дійсних чисел.'''
Підвиди Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.
Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд
— додавання, — множення буде комутативним.
Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати
Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити:
Розв'язуватимемо квадратне рівняння так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина:
В залежності від знака правої частини отримаємо:
Множення Отже, в залежності від випадку, замінивши на одну з одиниць отримаємо: — комплексні числа, — подвійні числа, — дуальні числа.
Норма
Для всіх підвидів виконується
Ділення — дільників нуля немає; — існують дільники нуля виду — існують дільники нуля виду
Матричне представлення Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2*2 яка є квадратним коренем , та відповідно, і в неї нулі на головній діагоналі.
Зазвичай для вибирають одиничну матрицю, матрицю повороту на та матриці Паулі :
Відповідно:
Така відповідність задає ізоморфізм, якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.
В такому представлені: норма числа відповідає детермінанту матриці; спряження відповідає транспонуванню матриці.
Див. також Чотиривимірні гіперкомплексні числа
Джерела