Теоремою Планшереля у гармонічному аналізі називається твердження про властивості функцій дійсної змінної і їх перетворень Фур'є. Теорема доведена швейцарським математиком Мішелем Планшерелем у 1910 році..
Твердження теореми Якщо комплекснозначна функція f, визначена на множині дійсних чисел належить просторам і , тоді її перетворення Фур'є, яке є комплекснозначною функцією дійсної змінної, що визначається як:
теж є функцією із . До того ж виконується формула Планшереля — Персеваля:
де є двома функціями, що задовольняють вказані умови, а — їх перетвореннями Фур'є.
Зокрема:
.
Одержані таким чином функції утворюють щільну підмножину у і відображення із простору функцій можна продовжити до унітарного оператора на просторі .
Доведення формули Планшереля — Персеваля У випадку коли належать деякому хорошому класу функцій, наприклад є функціями Шварца, можна дати просте доведення формули за допомогою оберненого перетворення Фур'є. У цьому випадку
і з властивостей комплексного спряження також
Тоді
Див. також Перетворення Фур'є Теорема Персеваля
Джерела
Примітки