Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

Структура Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і для або .

Інваріанти: Всі рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа: 1 0 0 1 1+n 1, 0 0 1 де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

є непарною унімодулярною ґраткою , за винятком поверхонь Гірцебруха , для яких це парна унімодулярна ґратка .

Теорема Кастельнуово Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої і (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики Зарицький знайшов приклад уніраціональних поверхонь (), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими і раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад ().

Приклади раціональних поверхонь

: вкладення степеня 6 проєктивної площини в , визначене 10 точками в загальному положенні.

Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, і . (поверхні Фано) Поверхня Еннепера

. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха . Проєктивна площина . Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках. . Поверхня в з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині. , узагальнення поверхонь Бордіга. Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в .

Див. також

Примітки

Література