Тотожність Бохнера — загальна назва сімейства тотожностей у рімановій геометрії, що пов'язують лапласіани різних типів і кривину. Тотожності, одержувані інтегруванням тотожності Бохнера, іноді називають тотожностями Рейлі.
Формулювання Нехай — розшарування Дірака над рімановим многовидом , — відповідний оператор Дірака, і тоді
для будь-якого перерізу .
Позначення Далі позначає ортонормований репер у точці.
позначає зв'язність на , і
так званий лапласіан за зв'язністю.
— переріз , що визначається як
де «» позначає множення Кліфорда, і
— перетворення кривини.
— оператор Дірака на , тобто
і лапласіан Ходжа на диференціальних формах
Наслідки
З тотожності Бохнера для градієнта функції отримуємо таку інтегральну формулу для будь-якого замкнутого многовиду ,
де позначає гесіан .
Якщо — гармонічна функція, то ,
де позначає градієнт . Зокрема: Компактні многовиди з додатною кривиною Річчі не допускають ненульових гармонічних функцій. Якщо — гармонічна функція на многовиді з додатною кривиною Річчі, то функція субгармонічна.
З формули Бохнера випливає, що на компактних многовидах з додатним оператором кривини відсутні гармонічні форми будь-якого степеня, тобто воно є раціонально гомологічною сферою. Іншим методом, а саме потоком Річчі, вдалося довести що будь-який з таких многовидів дифеоморфний фактору сфери за скінченною групою.
Примітки
Література