Нехай є структура інцидентності , що складається з точок , прямих і прапорів . Кажуть, що точка інцидентна прямий , якщо . Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
Для будь-якої пари різних точок і існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам. Кожна пряма інцидентна точці. Кожна точка інцидентна прямій. Якщо точка і пряма не інцидентні, існує рівно пар , таких, що інцидентна , а інцидентна .
Часткова геометрія з цими параметрами позначається .
Властивості
Число точок задається формулою , а число прямих — формулою . Точковий графЯкщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P. структури є сильно регулярним графом: . Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для є структура .
Окремі випадки
Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії з . Системи Штейнера — це точно часткові геометрії з .
Узагальнення порядку називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа , такі, що:
Якщо точка і пряма не інцидентні, існує або , або рівно пар , таких, що інцидентна і інцидентна . Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно спільних сусідів.
Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли .
Легко показати, що граф колінеарності такої геометрії строго регулярний з параметрами .
Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри .
Примітки
Література