Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.
Визначення Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи, а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією.
У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO-системами.
Лінійні неперервні системи
Для випадку лінійної системи з входами, виходами і змінними стану опис має вигляд:
де
, , , , : — вектор стану, елементи якого називають станами системи — вектор виходу, — вектор керування, — матриця системи, — матриця керування, — матриця виходу, — матриця прямого зв'язку.
Часто матриця є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку .
Дискретні системи Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях:
Нелінійні системи Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:
або в компактнішій формі:
.
Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.
Лінеаризація У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки . У сталому режимі для робочої точки справедливий такий вираз:
Вводячи позначення:
Розклад рівняння стану в ряд Тейлора, обмежений першими двома членами дає такий вираз:
При взятті часткових похідних вектор-функції за вектором змінних станів і вектором вхідних впливів виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:
.
Аналогічно для функції виходу:
З огляду на , лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де
.
Приклади
Модель у просторі станів для маятника Маятник є класичною вільною нелінійною системою. Математично рух маятника описує таке співвідношення:
де
— кут відхилення маятника. — зведена маса маятника — прискорення вільного падіння — коефіцієнт тертя в підшипнику підвісу — довжина підвісу маятника
У такому випадку рівняння в просторі станів матимуть вигляд:
де
— кут відхилення маятника — кутова швидкість маятника — кутове прискорення маятника
Запис рівнянь стану в загальному вигляді:
.
Лінеаризація моделі маятника Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги має вигляд:
За відсутності тертя в підвісі отримаємо рівняння руху математичного маятника:
Див. також
Теорія керування Фазовий простір Критерій стійкості в просторі станів Простір понять Система відліку Модальне керування
Література книги
статті
Посилання Вихідні диференціальні рівняння САР