Класичний непараметричний критерій узгодженості Андерсона — Дарлінга [1, 2] призначений для перевірки простих гіпотез про належність аналізованої вибірки повністю відомому закону (про узгодженість емпіричного розподілення і теоретичного закону ) , тобто для перевірки гіпотези вигляду з відомим вектором параметрів теоретичного закону.
В критерії Андерсона — Дарлінга [1, 2] використовується статистика виду:
,
де — об'єм вибірки, — впорядковані за зростанням елементи вибірки.
При справедливості простої гіпотези, що перевіряється, статистика критерію підпорядковується розподіленню виду [2, 3, 4].
При перевірці простих гіпотез критерій є вільним від розподілу, тобто не залежить від виду закону, з яким перевіряється узгодженість.
Гіпотеза, яка перевіряється, відхиляється при великих значеннях статистики. Процентні точки розподілу наведені в [3, 4].
Перевірка складних гіпотез При перевірці складних гіпотез виду , де оцінка скалярного або векторного параметра розподілення вираховується по тій же вибірці, непараметричні критерії узгодженості втрачають властивість свободи від розподілу [5, 4] (розподілом статистики при справедливості вже не буде розподіл ).
При перевірці складних гіпотез розподілення статистик непараметричних критеріїв узгодженості залежать від ряду факторів: від виду спостережуваного закону , який відповідає справедливій гіпотезі ; від типу оцінюваного параметра і числа оцінюваних параметрів; в деяких випадках від конкретного значення параметра (наприклад, в разі сімейств гамма і бета-розподілів); від методу оцінювання параметрів. Відмінності в граничних розподілах тієї ж самої статистики при перевірці простих і складних гіпотез настільки істотні, що нехтувати цим ні в якому разі не можна.
Див. також
Критерій узгодженості Колмогорова Критерій узгодженості Пірсона Статистичний критерій
Література
Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212. Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.
Посилання Про застосування критерію при перевірці складних гіпотез:
Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39. — No. 3. — P. 460—471. Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. I // Измерительная техника. — 2009. — № 6. — С. 3—11. Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. II // Измерительная техника. — 2009. — № 8. — С. 17—26.
Про потужність критеріїв узгодженості:
Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 2(34). — С. 96—111. Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4(36). — С. 78—93. Мощность критериев согласия при близких альтернативах // Измерительная техника. — 2007. — № 2. — С. 22—27. __ІНДЕКС__