Експоненційне зростання — зростання величини, за якого швидкість зростання прямо пропорційна значенню самої величини. Наприклад, коли величина стане втричі більшою за теперішню, вона зростатиме втричі швидше, ніж зараз.
Висловлюючись більш технічною мовою, миттєва (тобто похідна) величини відносно незалежної змінної пропорційна самій цій величині. Часто незалежною змінною є час. Якщо описувати це як функцію, то величина, що зазнає експоненціального зростання, є експоненціальною функцією часу; тобто змінна, що позначає час, є показником степеня (на відміну від інших типів зростання, таких як квадратичне зростання). Експоненційне зростання є оберненим до логарифмічного зростання.
Не всі випадки зростання з постійно зростаючою швидкістю є прикладами експоненційного зростання. Наприклад, функція зростає з дедалі більшою швидкістю, але значно повільніше, ніж за експоненційним законом. Так, при вона зростає зі швидкістю, що утричі перевищує її значення, а при — лише зі швидкістю, що становить 30 % від її значення. Якщо ж експоненційно зростаюча функція збільшується зі швидкістю, що у 3 рази перевищує її поточний розмір, то вона завжди зростає саме з такою відносною швидкістю. Коли вона стає у 10 разів більшою, ніж зараз, вона й зростає у 10 разів швидше.
Якщо коефіцієнт пропорційності є від'ємним, то величина з часом зменшується, і тоді йдеться про експоненційний спад. У випадку дискретної області визначення з рівними інтервалами це також називають геометричним зростанням або геометричним спадом, оскільки значення функції утворюють геометричну прогресію.
Формула експоненційного зростання змінної зі швидкістю зростання , у момент часу в дискретних інтервалах (тобто в цілі моменти часу 0, 1, 2, 3, …), має вигляд:
де — значення у момент часу 0. Для ілюстрації часто наводять приклад зростання бактеріальної колонії: одна бактерія ділиться на дві, кожна з яких ділиться далі, унаслідок чого утворюються чотири, потім вісім, 16, 32 і т. д. Приріст постійно збільшується, оскільки він пропорційний щораз більшій кількості бактерій. Подібне зростання спостерігається й у реальних процесах та явищах, таких як поширення вірусної інфекції, зростання боргу внаслідок складних відсотків або поширення вірусних відео. В реальних умовах початкове експоненційне зростання зазвичай не триває нескінченно: згодом воно сповільнюється через наявність верхніх меж, зумовлених зовнішніми чинниками, і переходить у логістичне зростання.
Такі терміни, як «експоненційне зростання» інколи помилково тлумачать як «швидке зростання». Насправді ж те, що зростає експоненційно, на початкових етапах може зростати досить повільно.
Приклади
Біологія Кількість мікроорганізмів у культурі зростає експоненційно доти, доки не вичерпується необхідна поживна речовина, після чого її вже не вистачає для подальшого росту нових організмів. Зазвичай перший організм ділиться на два дочірні, кожен із яких ділиться далі, утворюючи чотири, ті — вісім і так далі. Оскільки експоненційне зростання вказує на сталу швидкість зростання, часто припускають, що клітини, які зростають експоненційно, перебувають у стаціонарному стані. Проте клітини можуть зростати експоненційно зі сталою швидкістю, водночас перебудовуючи свій метаболізм і експресію генів. Вірус (наприклад COVID-19, або віспа) зазвичай на початковому етапі поширюється експоненційно, якщо відсутня штучна імунізація. Кожна інфікована особа може заразити кількох нових людей.
Фізичні науки
Пробій у діелектричному матеріалі: вільний електрон під дією зовнішнього електричного поля прискорюється настільки, що під час зіткнень з атомами або молекулами діелектричного середовища вивільняє додаткові електрони. Ці вторинні електрони також прискорюються, утворюючи дедалі більшу кількість вільних електронів. Унаслідок цього експоненційне зростання числа електронів та іонів може швидко призвести до повного електричного пробою матеріалу. Ланцюгова ядерна реакція (принцип, на якому ґрунтується робота ядерних реакторів і ядерної зброї). Кожне ядро урану, що зазнає поділу, утворює кілька нейтронів, кожен з яких може бути поглинутий сусідніми атомами урану, спричиняючи їхній поділ. Якщо імовірність поглинання нейтронів перевищує ймовірність їх виходу з системи (що залежить від форми та маси урану), швидкість утворення нейтронів і індукованих поділів ядер урану зростає експоненційно, утворюючи неконтрольовану реакцію. «Через експоненційний характер зростання в будь-який момент ланцюгової реакції 99 % енергії вже буде вивільнено протягом останніх 4.6 покоління. Можна з достатньою точністю вважати, що перші 53 покоління становлять латентний період, який передує власне вибуху, що триває лише 3–4 покоління». Позитивний зворотний зв'язок у лінійному діапазоні електричного або електроакустичного підсилення може призводити до експоненційного зростання підсиленого сигналу, хоча резонансні ефекти можуть надавати перевагу окремим частотним складовим сигналу.
Економіка Економічне зростання зазвичай виражають у відсотках, що передбачає експоненційний характер зростання.
Фінанси Складні відсотки за сталої процентної ставки забезпечують експоненційне зростання капіталу. Див. також Правило 72. Пірамідальні схеми або схеми Понці також демонструють такий тип зростання, що приносить високі прибутки небагатьом початковим інвесторам і збитки великій кількості інших учасників.
Комп'ютерні науки Обчислювальна потужність комп'ютерів. Див. також закон Мура та технологічна сингулярність. (За експоненційного зростання сингулярностей не існує; «сингулярність» тут є метафорою, покликаною передати уявно недосяжне майбутнє. Зв'язок цього гіпотетичного поняття з експоненційним зростанням найактивніше обстоює футуролог Реймонд Курцвайл.) У теорії обчислювальної складності, алгоритми з експоненційною складністю потребують експоненційно зростаючих ресурсів (наприклад часу або комп'ютерної пам'яті) навіть для сталого збільшення розміру задачі. Так, для алгоритму з часовою складністю : якщо задача розміру потребує 10 секунд, задача розміру — 20 секунд, то для знадобиться вже 40 секунд. Такі алгоритми зазвичай стають непридатними навіть для дуже малих розмірів задач — часто в діапазоні від 30 до 100 елементів (тоді як більшість комп'ютерних алгоритмів мають розв'язувати значно більші задачі — до десятків тисяч або навіть мільйонів елементів — за прийнятний час, що було б фізично неможливо для експоненційних алгоритмів). Вплив закону Мура тут також мало допомагає, оскільки подвоєння швидкості процесора лише збільшує допустимий розмір задачі на сталу величину. Наприклад, якщо повільний процесор може розв'язувати задачі розміру за час , то процесор удвічі швидший зможе за той самий час розв'язати лише задачі розміру . Отже, алгоритми з експоненційною складністю найчастіше є непрактичними, і пошук ефективніших алгоритмів є однією з центральних цілей сучасної інформатики.
Інтернет-явища Інтернет-контент, такий як меми чи відео, може поширюватися експоненційно; часто кажуть, що він «стає вірусним» — за аналогією з поширенням вірусів. У медіасередовищах, таких як соціальні мережі, одна людина може одночасно переслати той самий контент багатьом іншим, які потім поширюють його ще ширше і так далі, що спричиняє стрімке поширення. Наприклад, відео Gangnam Style було завантажене на YouTube 15 липня 2012 року, за перший день набрало сотні тисяч переглядів, на двадцятий день — мільйони, а менш ніж за два місяці сумарна кількість переглядів сягнула сотень мільйонів.
Базова формула
Величина експоненційно залежить від часу , якщо
де стала — початкове значення , стала — додатний коефіцієнт зростання, а — постійна часу, тобто час, необхідний для збільшення в разів:
Якщо і , то зазнає експоненційного зростання. Якщо і або і , то зазнає експоненційного спаду.
Приклад: Якщо вид бактерій подвоюється кожні десять хвилин, починаючи з однієї бактерії, скільки бактерій буде через одну годину? З умови випливає: , і .
Через одну годину, тобто через шість десятихвилинних інтервалів, буде 64 бактерії.
Багато пар де — безрозмірнісне невід'ємне число, а — проміжок часу (фізична величина, яку можна подати як добуток числа на одиницю часу) задають одну й ту саму швидкість зростання; при цьому пропорційна . Для будь-якого фіксованого (наприклад e або 2), швидкість зростання визначається ненульовим часом . Для будь-якого ненульового швидкість зростання визначається додатним безрозмірнісним числом .
Отже, закон експоненційного зростання можна записати в різних, але математично еквівалентних формах, використовуючи різні основи. Найпоширеніші з них:
де — початкове значення .
Параметри (у разі експоненційного спаду — від'ємні): константа зростання — частота (кількість разів за одиницю часу) зростання в разів; у фінансах її також називають логарифмічною дохідністю, безперервно нарахованою дохідністю або силою відсотка; τ — час, за який величина зростає в e разів; T — час, за який величина подвоюється; відсотковий приріст (безрозмірнісне число) за період . Величини , і , а також для заданого — і , пов'язані взаємно однозначно таким співвідношенням (яке можна отримати, взявши натуральний логарифм наведених вище формул):
де відповідає і нескінченним і .
Якщо є одиницею часу, то частка — це просто кількість одиниць часу. За умови використання позначення для (безрозмірнісної) кількості одиниць часу замість самого часу, можна замінити на , однак для уніфікації цього тут не зроблено. У такому разі ділення на в останній формулі також не є числовим діленням; воно перетворює безрозмірнісне число на відповідну величину з урахуванням одиниці вимірювання.
Популярним наближеним методом обчислення часу подвоєння за відомою швидкістю зростання є правило 72, тобто, .
Переформулювання у вигляді лог-лінійного зростання Якщо змінна демонструє експоненційне зростання за законом , то логарифм (за будь-якою основою) величини зростає лінійно з часом, що видно з логарифмування обох частин:
Це дає змогу моделювати експоненційне зростання за допомогою . Наприклад, якщо потрібно емпірично оцінити швидкість зростання за міжчасовими даними для , можна виконати лінійну регресію на .
Диференціальне рівняння Показникова функція задовольняє лінійне диференціальне рівняння:
яке стверджує, що миттєва зміна у момент часу пропорційна значенню , а становить .
Рівняння розв'язується безпосереднім інтегруванням:
звідки
У наведеному диференціальному рівнянні, якщо , то величина зазнає експоненційного спаду.
Нелінійну модифікацію цієї моделі зростання див. у логістичній функції.
Інші темпи зростання У довгостроковій перспективі експоненційне зростання будь-якого типу випереджає лінійне зростання будь-якого типу (що лежить в основі сценарію мальтузіанської катастрофи), а також будь-яке поліноміальне зростання, тобто для всіх :
Існує ціла ієрархія можливих темпів зростання, які (у довгостроковому сенсі) є повільнішими за експоненційне, але швидшими за лінійне.
Темпи зростання можуть бути й швидшими за експоненційні. У найекстремальнішому випадку, коли зростання за скінченний час необмежено збільшується, його називають гіперболічним зростанням. Між експоненційним і гіперболічним зростанням існують інші класи поведінки зростання, зокрема гіпероперації, починаючи з тетрації, а також , тобто діагональ функції Акермана.
Логістичне зростання
На практиці початкове експоненційне зростання часто не зберігається нескінченно довго. Через певний час воно сповільнюється під впливом зовнішніх або середовищних чинників. Наприклад, зростання чисельності населення може досягати верхньої межі через обмеженість ресурсів. У 1845 році бельгійський математик П'єр Франсуа Ферхюльст вперше запропонував математичну модель такого типу зростання, яку назвав «логістичним зростанням».
Обмеження моделей