Регулярний простір і простір — топологічні простори, що характеризуються виконанням досить сильних аксіом віддільності.
Означення Топологічний простір простір називається регулярним простором, якщо він задовольняє умову віддільності точок від замкнутих множин, тобто для кожної замкнутої множини і точки існують відкриті множини що не перетинаються і і
Також у цьому випадку кажуть, що точка і замкнута множина розрізняються за допомогою відкритих множин .
Топологічний простір називається гаусдорфовим регулярним простором або простором тоді і тільки тоді, коли є регулярним простором і також гаусдорфовим простором.
Еквівалентно регулярний простір є простором якщо він є задовольняє аксіому Дійсно кожен простір Гаусдорфа є простором Навпаки регулярний простір є гаусдорфовим. Це випливає з того, що для таких просторів із двох різних точок, хоча б одна не залежить замиканню іншої (наслідок аксіоми ) і з регулярності випливає, що існують відкриті множини, що не перетинаються і відокремлюють вказані точку і замикання іншої. Ці ж множини задовольняють умову в означення просторів Гаусдорфа.
В літературі немає однозначності щодо використання термінів. Іноді регулярним простором можуть називати простір, що також є гаусдорфовим, також простором можуть називати як регулярний (не обов'язково гаусдорфів), так і гаусдорфів регулярний простір.
Топологічний простір у якому кожна точка має відкритий окіл, що є регулярним простором називається локально регулярним простором.
Приклади
Більшість типових прикладів у математичному аналізі є просторами Серед таких прикладів зокрема: простір дійсних чисел із стандартною топологією, евклідові простори, метричні і метризовні простори. Псевдометричні простори є регулярними але можуть не бути гаусдорфовими. Довільна множина із антидискретною топологією є гаусдорфовим регулярним простором. Компактні і локально компактні гаусдорфові простори є регулярними. Кожен цілком регулярний простір є регулярним але існують регулярні простори, які не є цілком регулярними. Наприклад розглянемо підмножину двовимірної площини. На множині введемо топологію за допомогою бази околів для точок якщо то якщо то складається із всіх множин виду де є скінченною множиною, де
Тоді є регулярним але не цілком регулярним простором.
Існують простори які не є просторами Розглянемо наприклад множину з топологією отриманою доповненням звичайної топології на множиною Тоді є гаусдорфовим простором оскільки із звичайною топологією є гаусдорфовим, а топологічний простір із сильнішою топологією є гаусдорфовим, якщо таким є простір із слабшою топологією. Натомість не є регулярним простором. Справді, є замкнутою множииною (оскільки за побудовою, її доповнення є відкритою множиною) і її не можна відділити від точки за допомогою відкритих множин, що не перетинаються. Іншим прикладом гаусдорфового простору, що не є простором є простір із топологією ірраціонального схилу. Цей простір також є прикладом напіврегулярного простору, що не є регулярним. Натомість простір із топологією є регулярним але не гаусдорфовим.
Властивості
Топологічний простір є регулярним тоді і тільки тоді, коли виконується якась із еквівалентних умов:
Для кожної компактної множини і замкнутої множини перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини що не перетинаються між собою і для яких і для кожної точки і його відкритого околу (тобто ) існує окіл точки замикання якого є підмножиною (тобто ). Кожна замкнута множина є рівною перетину усіх своїх замкнутих околів (окіл має містити відкриту множину, що містить , тому не є своїм околом). Для кожної множини і відкритої множини перетин яких є непорожнім існує відкрита множина для якої і Для кожної непорожньої множини і замкнутої множини перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини для яких і Кожна база топології є регулярною, тобто для кожної множини із бази і точки існує відкрита множина для якої
Кожен регулярний топологічний простір який є зліченним або задовольняє другу аксіому зліченності є нормальним простором. Підмножина регулярного простору (чи простору ) із індукованою топологією є регулярним простором (простором ). Прямий добуток регулярних просторів (чи просторів ) із топологією добутку є регулярним простором (простором ).
Див. також
Аксіоми віддільності Гаусдорфів простір Цілком регулярний простір
Джерела
Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с. Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5