У статистиці степеневий розподіл () — функціональна залежність між двома величинами, за якої відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою степеневу функцію. Наприклад, площа квадрата має степеневу залежність від довжини його сторони: якщо довжину збільшити вдвічі, то площа збільшиться вчетверо.

Приклади з практики В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри місячних кратерів і сонячних спалахів, закономірності харчування різних видів, активність популяцій нейронів, частота вживання слів у більшості мов, розповсюдженість прізвищ, у кладах організмів, масштаби аварій в енергосистемах, число карних звинувачень на одного злочинця, кількість вивержень вулканів, людські оцінки інтенсивності стимулівStevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153—181Staddon, J. E. R. (1978). Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305—320. і багато інших величин. Емпіричні розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значень, або, наприклад, у хвості. проходить за степеневим законом у широких смугах частот у багатьох складних середовищах. Алометричні закономірності для відношень між біологічними змінними є одним із найвідоміших прикладів степеневих законів у природі.

Властивості

Масштабна інваріантність

Для степеневого закону характерна масштабна інваріантність. Якщо виконується , то масштабування аргументу на постійний коефіцієнт призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

де означає пряму пропорційність. Іншими словами, множення аргументу на сталу величину призводить просто до множення значень функції на сталу величину . Таким чином, усі степеневі закони із заданим показником степеня еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони є лише версіями один одного в різних масштабах. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин та , і пряму лінію на графіку у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати скінченні обсяги даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною галуззю досліджень у статистиці, див. нижче.

Відсутність строго визначеного середнього значення Степеневий закон має строго визначене середнє значення при , тільки якщо , і має скінченну дисперсію, тільки якщо . Для більшості відомих степеневих законів у природі значення показника степеня такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорний лебідь». Це можна показати на прикладі такого уявного експерименту:9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла найзаможніша людина у світі з місячним прибутком близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом із показником степеня 2).

З одного боку, це не дає змоги коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання. Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподілені серед автомобілів за степеневим законом (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити кількість викидів.Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray;

Медіана існує: для степеневого закону x –k з показником степеня вона має значення 21/(k — 1)xmin, де xmin — це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.Newman, Mark EJ. «Power laws, Pareto distributions and Zipf's law.» Contemporary physics 46.5 (2005): 323—351.

Універсальність Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, фазовий перехід у термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. За допомогою теорії ренормалізаційних груп можна показати, що різні системи з однаковими критичними індексами — ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення — поділяють однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO2 в їхніх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, оскільки вони мають однакові критичні індекси. Фактично, майже всю суть фазових переходів описує невелика множина класів універсальності. Подібні спостереження зроблено, хоча й не так всеосяжно, для різних самоорганізованих критичних систем, де критична точка системи — це атрактор. Формально, цю спільність динаміки називають , і системи з однаковими критичними індексами називають такими, що належать до одного класу універсальності.

Функції степеневого розподілу Науковий інтерес до відношень зі степеневим розподілом частково викликані легкістю, з якою деякі поширені класи механізмів їх породжують. Наявність степеневого розподілу на деяких даних може вказати на специфіку поведінки механізмів, які лежать в основі даного природного явища, та на глибокі зв'язки з іншими, здавалося б ніяк не пов'язаними, системами; див. також універсальність вище. Поширеність степеневого розподілу у фізиці частково пояснюється обмеженнями розмірності, тоді як у складних системах степеневі залежності часто вважають ознаками ієрархії або специфічних випадкових процесів. Відомими випадками степеневого розподілу є закон Парето розподілу доходів, структурна самоподібність фракталів, закони масштабування в біологічних системах. Пошук причин виникнення степеневого розподілу та зусилля з його виявлення та доведення його в реальному житті є актуальною темою в багатьох галузях науки, як от у фізиці, інформатиці, мовознавстві, геофізиці, нейронауці тощо.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу походить від дослідження розподілу ймовірностей: розподіл багатьох різноманітних величин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні у верхній частині (значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці величини до вивчення , яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій, як от біржовий крах та великі стихійні лиха. Назву «степеневий закон» переважно використовують у вивченні статистичних розподілів.

В емпіричному контексті, апроксимація до степеневого розподілу зазвичай включає член відхилення , який може представляти невизначеність у спостережуваних значеннях (можливо, похибки вимірювання або вибірки) або прокладає простий шлях до спостереження відхилень від функції степеневого розподілу (можливо, зі стохастичних причин):

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом імовірностей, але розподіл представлений зрізаною степеневою функцією можливий: for де показник степеня більший від 1, найменше значення потребує іншого розподілу, що має нескінченну площу, якщо x прямує до 0, та константа C — масштабний множник для забезпечення того, що вся площа дорівнюватисе 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл — який істинний тільки в границі. Зазвичай показник лежить у межах , хоча не завжди.

Примітки

Література

Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press

Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009),

Mark Buchanan (2000) Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson