Тве́рдження Едсгара Дейкстри є одним із доведень теореми Піфагора.
Твердження Е. Дейкстра
Доведення
Розглянемо довільний трикутник ABC.
Дейкстра побудував дві додаткові лінії CH і CK так що і , що робить трикутники ABC, ACH і BCK подібними і кути AHC і BKC рівними.
Ми маємо випадок , в якому трикутники CKB і AHC, непересічні області і не охоплюють весь ; позначаючи площі як "XYZ" отримаємо наступний випадок
У випадку , H і K збігаються і ми маємо
і у випадку , де два трикутники перетинаються, маємо
Підсумувавши, отримаємо
Три площі цих подібних трикутників мають співвідношення як квадрати відповідних сторін, зокрема
Звідси,
Отже, ми довели теорему
Рівність для трапеції
Доведення
Розглянемо та .
З подібності трикутників маємо відношення
Нехай , тоді
.
Нехай . Аналогічно
.
За теоремою Дейкстра
Відомо, що .
Виразимо d:
.
Підставимо:
Оскільки одержимо наступну рівність
Що й треба було довести.
Узагальнення
Якщо у твердженні Дейкстра покласти , то утвориться прямокутний трикутник і згідно теореми
.
Остання рівність всім відома як теорема Піфагора.
Зокрема, в трапеції із перпендикулярними діагоналями для бічних сторін виконується рівність