В теорії чисел, нерівністю Бонсе називається нерівність для простих чисел, доведена Бонсе у 1907 роціH. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295..
Твердження Якщо позначає -не просте число, то
для .
З використанням цієї нерівності, Бонсе довів, що 30 є найбільшим цілим числом із такою властивістю: якщо натуральне число , де є взаємно простим із тобто , то є простим числом.
Бонсе також довів сильнішу нерівність:
для .
Натомість слабша нерівність:
негайно випливає із доведення Евклідом нескінченності простих чисел.
Приклади Прикладами для найменших чисел є
Доведення
За допомогою постулата Бертрана Просте доведення нерівності можна дати за допомогою постулата Бертрана (проте воно не є елементарним через використання постулату). Послідовні прості числа задовольняють нерівність Якщо тепер припустити то з використанням нерівності із постулату Бертрана
оскільки для
Оскільки нерівність Бонсе виконується для то методом математичної індукції вона виконується і для всіх більших натуральних чисел.
Елементарне доведення Нерівність була доведена простими підрахунками для
Позначимо — цілу частину числа. Очевидно і для також Дійсно, для другої нерівності де остання нерівність очевидно виконується для всіх
Позначимо і Нехай елементи і множини діляться на просте число Тоді що неможливо. Тобто жодне із простих чисел не ділить більше одного із чисел множини Оскільки то цих простих чисел є менше, ніж елементів множини Відповідно існує число що не ділиться на жодне із простих чисел а тому воно ділиться на якесь більше просте число і зокрема є не меншим, ніж
Враховуючи все це маємо:
а тому:
що і завершує доведення.
Посилення і подібні нерівності
Долезман у 2000 році довівM. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153 що
для .
Шандор у 1988 році показав, J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74 що:
для .
Поса у 1960 році довів, L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129. що для кожного , існує для якого:
для .
Панаітополь довів у 2000 роціL. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35. що:
де — функція розподілу простих чисел.
Примітки
Література
Robert J. Betts, Using Бонсе's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online. G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online. József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online