Теорема Хеллі — це базовий результат в дискретній геометрії щодо перетину опуклих множин. Вона була відкрита Едвардом Хеллі у 1913,. але не опублікована до 1923, на той момент вже з'явились альтернативні доведення і . Теорема Хеллі дає початок сім'ї Хеллі.
Твердження Нехай буде скінченною колекцією опуклих підмножин , з . Якщо перетин кожних з цих множин непорожній, тоді вся колекція має непорожній перетин; тобто
Для нескінченної колекції треба припустити компактність:
Нехай буде колекцією компактних опуклих підмножин , таких що кожна підколекція потужності не більше має непорожній перетин. Тоді вся колекція має непорожній перетин.
Доведення Ми доведемо скінченну версію використовуючи теорему Радона як в доведенні . Нескінченна версія слідує з критерію властивості скінченного перетину компактності: колекція замкнутих підмножин компактного простору має непорожній перетин тоді і тільки тоді якщо кожна скінченна підколекція має непорожній перетин (щойно ми зафіксували одну множину, перетин усіх інших з нею це певний компактний простір).
Доведення за індукцією:
База: Нехай . Згідно з нашими припущеннями, для кожного існує точка , яка є перетином всіх можливо без . Тут ми застосовуємо теорему Радона до множини яка дає нам неперетинні підмножини множини , такі що опукла оболонка для перетинає опуклу оболонку для . Припустимо, що — це точка в перетині цих опуклих оболонок. Ми стверджуємо, що
Насправді, розглянемо будь-яке ми доведемо, що Зауважимо, що єдиний елемент з , що може бути не в — це . Якщо , тоді , і отже . З того, що опукла, вона також містить опуклу оболонку і тому . Так само, якщо , тоді , і завдяки таким самим міркуванням . Тому, що лежить в кожному , вона також має бути в їх перетині.
Вище, ми припустили, що всі точки різні. Якщо це не так, скажімо для деякого , тоді належить кожній з множин , і знов, ми заключаємо, що перетин не порожній. Це завершує доведення для .
Крок: Припустимо, що і, що твердження дотримується для . Довід наведений вище показує, що будь-яка підколекція з множин має непорожній перетин. Тоді ми можемо розглянути колекцію де дві множини і замінені на одну множину . У цій новій колекції, кожна підколекція з множин має непорожній перетин. Тому ми можемо застосувати індуктивну гіпотезу і показати, що нова колекція має непорожній перетин. З цього випливає, що початкова колекція має непорожній перетин, що завершує доведення.
Див. також Нерв покриття
Примітки
. . .