У математиці, середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел, що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме
Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну.
Зв'язок з іншими середніми значеннями
Середнє логарифмічне двох чисел є меншим, ніж середнє арифметичне, але більшим, ніж середнє геометричне (коли обидва числа є однаковими, то всі три середні є рівними цьому числу):
Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара.
(Середнє арифметичне)
Інтерпретація в математичному аналізі
Теорема Лагранжа
Із теореми Лагранжа
середнє логарифмічне є значенням , якщо за функцію взяти :
і звідси
Інтегрування
Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою:
Звідси зокрема легко отримати властивість .
Узагальнення
Через теорему Лагранжа
Середнє логарифмічне можна узагальнити на змінні розглянувши узагальнену теорему Лагранжа для розділених різниць для логарифма -ї похідної. Тоді можна ввести
де — розділена різниця логарифму.
Для випадку трьох змінних: .
Через інтегральний вираз
Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай — симплекс і для деякої міри у якій об'єм симплекса дорівнює 1, отримуємо
За допомогою розділених різниць можна записати .
Для випадку трьох змінних: .
Див. також Середнє арифметичне Середнє геометричне
Література
Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean , Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92