У математиці, більш детально топології, локальний гомеоморфізм є функція між топологічними просторами що, інтуїтивно, зберігає локальну структуру.
Означення Нехай і — топологічні простіори. Відображення називається локальним гомеоморфізмом якщо для кожної точки в існує відкрита множина , що містить , така що образ є відкритою підмножиною в і обмеження є гомеоморфізмом.
Приклади
За означенням, кожен гомеоморфізм є також локальним гомеоморфізмом. Якщо є відкритою підмножиною з індукованою топологією, тоді відображення включення є локальним гомеоморфізмом. Факт, що є відкритою підмножиною є важливим, в іншому випадку включення не є локальним гомеоморфізмом. Нехай — відображення дійсної прямої в коло задане як для всіх ). Це відображення є локальним гомеоморфізмом але не гомеоморфізмом. Нехай — неперервне відображення кола в себе . Це відображення є локальним гомеоморфізмом для всіх ненульових , а гомеоморфізмом є тільки у випадках коли = 1 чи -1. Більш загально, будь-яке накриття є локальним гомеоморфізмом; зокрема, універсальне накриття простору є локальним гомеоморфізмом. В деяких випадках справедливим є і обернене твердження. Наприклад: якщо є гаусдорфовим простором і є локально компактним і гаусдорфовим і є власним локальний гомеоморфізмом, тоді є відображенням накриття.
У комплексному аналізі голоморфна функція (де є відкритою підмножиною комплексної площини ) є локальним гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли похідна є ненульовою для всіх . Функція на відкритому крузі із центром 0 не є локальним гомеоморфізмом в 0 коли є не меншим 2.
З використанням теореми про обернену функцію можна довести, що неперервно диференційовна функція (де є відкритою підмножиною ) є локальним гомеоморфізмом якщо і тільки якщо похідна є невиродженим лінійним відображенням (невиродженою квадратною матрицею) для кожного . Аналогічне твердження є справедливим для відображень між диференційовними многовидами.
Властивості Довільний локальний гомеоморфізм є неперервним і відкритим відображенням. Бієктивний локальний гомеоморфізм є гомеоморфізмом. Локальний гомеоморфізм зберігає "локальні" топологічні властивості: є локально зв'язаним простором якщо і тільки якщо є локально зв'язаним є локально лінійно зв'язаним якщо і тільки якщо є локально лінійно зв'язаним є локально компактний простір якщо і тільки якщо є локально компактним є простором із першою аксіомою зліченності якщо і тільки якщо є таким простором
Якщо є локальним гомеоморфізмом і є відкритою підмножиною , тоді обмеження є локальним гомеоморфізмом.
Якщо і є локальними гомеоморфізмами, тоді композиція також є локальним гомеоморфізмом.
Примітки
Див. також Гомеоморфізм
Література Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5