Квадратичний код лишку є видом циклічного коду.
Приклади Приклади квадратичного коду лишків включають в себе: Код Гемінга над ; двійковий код Голея над ; трійковий код Голея над .
Конструкції Це код квадратичного лишку довжини над скінченим полем , коли та є простими, непарне і є квадратичним лишком за модулем . Його твірний поліном, як циклічний код задається формулою
де є набором квадратичних лишків у множині , і — первісний корінь порядку із одиниці в деякому скінченному полі . Умова, що є квадратичним лишком забезпечує те, що коефіцієнти належать полю .
Розмірність коду — .
Заміна на інший первісний корінь порядку із одиниці призводить до отримання або того ж самого коду, або еквівалентного, залежно від того чи є квадратичним лишком .
Альтернативна конструкція дозволяє уникнути коренів із одиниці. Задається функція
для відповідного . Коли необхідно підібрати , при якому . Якщо — непарне, то , де або відповідно до того, чи ≡ (mod ) або ≡ (mod ). Тоді також генерує код квадратичного лишку; точніше ідеал множини згенерованої функцією відповідає коду квадратичного лишку.
Вага Мінімальна вага квадратичного коду лишку довжини більша, ніж ; це границя квадратного кореня.
Розширений код Додавання перевірочної цифри на загальну парність до коду квадратичного лишку дає розширений код квадратичного лишку. Коли (mod ), розширений код квадратичного лишку є самодвоїстим; інакше він еквівалентний, проте не дорівнює собі подвійному. За теоремою Глісона-Пранжа (названою на честь Ендрю Глісона та ), група автоморфізму коду розширеного квадратичного лишку має підгрупу, що ізоморфна до або .
Список літератури F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. .