У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів A для яких .EGA 0I, 1.7.1. Ця множина позначається . Згідно з означенням носій є підмножиною спектра кільця A.
Властивості Якщо є модулем над кільцем породженим єдиним елементом і , то , тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал Нехай — простий ідеал у кільці . Тоді, згідно з означенням локалізації модуля елемент у тоді і тільки тоді, коли існує елемент , такий що , тобто якщо Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль був ненульовим), необхідно і достатньо щоб містив ідеал , що і треба було довести. якщо і тільки якщо його носій є пустою множиною. Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент , то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить належить . Якщо є сумою підмодулів , тоді Оскільки для всіх справедливим є включення то Навпаки, якщо , то існує для якого не є підмножиною . Але цей елемент належить деякому і тоді . Простий ідеал є елементом носія скінченнопородженого модуля тоді і тільки тоді, коли . Зокрема носій модуля є замкнутою множиною у топології Зариського на Spec(A). Якщо належить носію модуля, то існує такий елемент , що для всіх Але тоді і необхідний результат отримується з того, що . Навпаки, якщо — породжуюча множина модуля, то і якщо то також для деякого і тому належить носію модуля. Якщо є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді є множиною всіх простих ідеалів, що містять Ця множина є рівною . Якщо то Якщо — прості ідеали, то з властивостей локалізації , тож якщо , то також і тому теж є елементом носія модуля. Нехай — точна послідовність A-модулів. Тоді Це об'єднання може не бути диз'юнктивним. Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність теж буде точною. З означень точної послідовності тоді буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як , так і . Тому належатиме тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин і . Якщо є скінченнопородженими A-модулями, то
Для довільного простого ідеалу . Оскільки — локалне кільце, то звідси , тоді і тільки тоді коли і , що доводить твердження. Нехай — скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем . Тоді якщо і тільки якщо , де — деякий асоційований простий ідеал модуля . Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля. При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді не належить носію модуля.
Носій квазікогерентного пучка Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок x∈X для яких локальні кільця Fx є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміна "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.
Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів Mα над кожним Aα.
Приклади Для скінченної комутативної групи , що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел, складається з усіх простих ідеалів , де просте число ділить порядок групи . У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення . Наприклад , . Тоді , але . Тому нульовий ідеал належить але не носію модуля . Носієм є множина максимальних ідеалів кільця .
Примітки
Див. також Асоційований простий ідеал
Література