Алгебраїчна теорія чисел — це розділ теорії чисел, який використовує методи абстрактної алгебри для вивчення цілих й раціональних чисел та їх узагальнень. Теоретико-числові питання виражаються в термінах властивостей алгебраїчних об'єктів, таких як алгебраїчні числові поля та кільця цілих чисел, скінченні поля та . Ці властивості, такі як єдиність факторизації кільця, поведінка ідеалів, групи Галуа полів, дають можливість розв'язати важливі питання в теорії чисел, наприклад, існування розв'язків діофантових рівнянь.
Історія алгебраїчної теорії чисел
Діофант Теорія алгебраїчних чисел бере свій початок від діофантових рівнянь,Stark, pp. 145-146. названих на честь александрійського математика III ст. Діофанта, який вивчав їх і розробив методи розв'язання деяких видів діофантових рівнянь. Типовою задачею Діофанта є пошук двох цілих чисел та таких, що їх сума та сума їх квадратів відповідно дорівнюють двом заданим числам і :
Діофантові рівняння вивчалися протягом тисячоліть. Наприклад, розв'язки квадратного рівняння Діофанта визначаються піфагоровими трійками і були відомі ще вавилонянам (близько 1800 до н. е.).Aczel, pp. 14-15. Розв'язки лінійних діофантових рівнянь, наприклад , можна знайти за допомогою алгоритму Евкліда (V ст. до н. е.).Stark, pp. 44-47.
Основною роботою Діофанта була книжка , з якої збереглася лише частина.
Ферма Велика теорема Ферма була вперше сформульована П'єром де Ферма в 1637 році на полях копії книжки Арифметика, де він стверджував, що у нього є доведення, яке занадто велике, щоб помістити на полях. До 1995 року не було опубліковано жодного успішного доведення, незважаючи на зусилля багатьох математиків протягом 358 років. Нерозв'язана проблема стимулювала розвиток алгебраїчної теорії чисел у XIX столітті та доведення теореми про модулярність в ХХ столітті.
Гаусс Одна з основоположних робіт в алгебраїчній теорії чисел — Disquisitiones Arithmeticae (з лат. арифметичні дослідження) — це підручник з теорії чисел,Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (2018) , Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 978-1-4939-7560-0 написаний Карлом Фрідріхом Гауссом латинською мовою в 1798 році, коли Карлу був 21 рік, і вперше опублікований 1801 року, коли йому було 24 роки. У цій книзі Гаусс зібрав результати з теорії чисел, що були отримані такими математиками як Ферма, Ейлер, Лагранж та Лежандр, а також додав нові важливі власні результати. До публікації Disquisitiones теорія чисел складалася із ізольованих теорем та гіпотез. Гаусс систематизував роботи своїх попередників разом та поєднав їх з власними оригінальними результатами, заповнив прогалини, виправив хибні доведення та розширив предмет досліджень у багатьох напрямках.
Disquisitiones стала відправною точкою для робіт інших європейських математиків дев'ятнадцятого століття, зокрема Ернста Кумера, Йоганна Петера Густава Лежена-Діріхле та Ріхарда Дедекінда. Багато із анотацій, зроблених Гауссом, фактично були анонсами його подальших досліджень, деякі з яких залишилися неопублікованими. Мабуть, для його сучасників вони здавалися особливо загадковими, а тепер їх можна зустріти у низці теорій, зокрема, в теоріях -функції та еліптичних кривих.
Діріхле У деяких роботах 1838 та 1839 років Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле довів для квадратичних форм (пізніше її удосконалив його студент Леопольд Кронекер). Формула, яку Якобі називав результатом «на межі людських здібностей», відкрила шлях до аналогічних результатів у випадку більш загальних числових полів.Elstrodt, Jurgen (2007), «The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805—1859)» (PDF), Clay Mathematics Proceedings, retrieved 2007-12-25 На основі його дослідження структури груп оборотних елементів квадратичних полів він довів теорему Діріхле про оборотні елементи — фундаментальний результат в алгебраїчній теорії чисел.Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002), Number theoretic methods: future trends, Springer, pp. 271–4, ISBN 978-1-4020-1080-4
Він вперше застосував принцип Діріхле, основний принцип підрахунку, в доведенні теореми в діофантовій апроксимації, який згодом був названий на його честь . Він опублікував важливий внесок в велику теорему Ферма, в якому він довів випадки і , а також закон . Проблема дільників Діріхле, для якої він знайшов перші результати, все ще залишається нерозв'язною проблемою в теорії чисел, незважаючи на пізніші внески інших дослідників.
Дедекінд Вивчення Ріхардом Дедекіндом робіт Лежена Діріхле привело його до подальшого вивчення полів та ідеалів алгебраїчних чисел. У 1863 році він опублікував лекції Лежена Діріхле з теорії чисел під назвою («Лекції з теорії чисел»), про які Едвардс (1983) написав наступне:
«Хоча книга, безумовно, базується на лекціях Діріхле i сам Дедекінд впродовж усього свого життя називав книгу лекціями Діріхле, сама книга була повністю написана Дедекіндом в основному вже після смерті Діріхле».
Видання Vorlesungen 1879 і 1894 років включали додатки, де було введено поняття ідеалу, яке є фундаментальним для теорії кілець. (Термін «кільце», введений пізніше Гільбертом, не зустрічався в роботі Дедекінда). Дедекінд визначив ідеал як підмножину множини чисел, яка утворена цілими алгебраїчними числами, що задовольняють поліноміальним рівнянням з цілими коефіцієнтами. Це поняття отримало подальший розвиток в роботах Гільберта і, особливо, Еммі Нетер. Ідеали узагальнюють Ернста Едуарда Куммера, які з'явилися в рамках спроби Куммера в 1843 році довести велику теорему Ферма.
Гільберт Давид Гільберт узагальнив алгебраїчну теорію чисел у трактаті (дослівно «доповідь про числа») в 1897 році. Він також розв'язав важливу проблему теорії чисел, сформульовану Ворингом в 1770 році. Як і у випадку з теоремою про скінченність, він використав доведення існування розв'язків задачі,Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, ISBN 0-387-94674-8 а не вказав спосіб для їх отримання. Після цього він опублікував дуже мало у цій тематиці. Але введення в дисертації зробило ім'я Гільберта ще більше пов'язаним з цією областю.
Він сформулював низку гіпотез у теорії полів класів. Його концепції мали важливий вплив, і його особистий внесок продовжує жити в назвах «» і «» в . Ці результати були в основному доведені 1930-х роках після публікації роботи .Ця робота зробила Такагі першим японським математиком світового рівня.
Артін Еміль Артін сформулював в серії робіт (1924; 1927; 1930 рр.). Цей закон є загальною теоремою в теорії чисел, яка утворює фундамент загальної теорії полів класів.Hasse, Helmut (2010) , «History of Class Field Theory», in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraic number theory (2nd ed.), London: 9780950273426, pp. 266—279, MR 0215665 Термін «закон взаємності» відноситься до довгого ряду більш конкретних теоретичних тверджень теорії чисел, які він узагальнює: від квадратичного закону взаємності і законів взаємності Айзенштайна та Куммера до формули добутку Гільберта для . Результат Артіна дає частковий розв'язок .
Сучасна теорія Приблизно у 1955 році японські математики Горо Шимура та помітили можливий зв'язок між двома, здавалося б, абсолютно різними галузями математики — еліптичними кривими і модулярними формами. Отримана теорема про модулярність (у той час відома як гіпотеза Таніями — Шимури) стверджує, що кожна еліптична крива є , а це означає, що вона може бути пов'язана з єдиною модулярною формою.
Спочатку вона була сприйнята скептично як маловірогідна або дуже спекулятивна, але була розглянута більш серйозно, коли спеціаліст в області теорії чисел Андре Вейль знайшов ознаки, що підтверджували цю гіпотезу, але не довів її; в результаті «вражаюча»Singh, Simon (1997), Fermat's Last Theorem, ISBN 1-85702-521-0 гіпотеза стала називатися гіпотезою Таніями — Шимури — Вейля. Вона стала частиною — переліку важливих гіпотез, що вимагають доведення або спростування.
У 1993—1994 роках Ендрю Джон Вайлс довів теорему про модулярність для , яка разом з дає доведення останньої теореми Ферма. Більшість математиків того часу вважали, що довести останню теорему Ферма і теорему про модулярність або неможливо, або майже неможливо, навіть з урахуванням новітніх досягнень. Вайлс вперше анонсував своє доведення у червні 1993 рокуКолата, Джина (24 червня 1993). «Нарешті, крик „Еврика!“ у віковій математичній загадці». Нью-Йорк Таймс, 21 січня 2013 року. у версії, яка незабаром була визнана такою, що має серйозну помилку в ключовому місці. Доведення було виправлене Вайлсом, частково в співпраці з Річардом Тейлором, і остаточна, загальноприйнята версія була прийнята до друку у вересні 1994 року і офіційно опублікована в 1995 році. Доведення використовує багато методів алгебраїчної геометрії та теорії чисел, і має різноманітні розгалуження в цих галузях математики. Також у доведенні використовуються стандартні конструкції сучасної алгебраїчної геометрії, такі як категорія схем, та інші, недоступні Ферма, методи математики 20-го сторіччя.
Основні поняття
Відсутність єдиності факторизації Важливою властивістю кільця цілих чисел є те, що воно задовольняє фундаментальній теоремі арифметики, яка стверджує, що кожне (додатне) ціле число можна представити у вигляді добутку простих чисел (факторизація), і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників. Це твердження може бути хибним в кільці цілих чисел алгебраїчного числового поля .
Простий елемент — це елемент з кільця такий, що якщо є дільником добутку , то він є дільником хоча б одного з множників або . Ця властивість тісно пов'язана з простими числами, оскільки будь-яке додатне ціле число, що задовольняє цій властивості, є або одиницею, або простим числом. Проте ця властивість строго слабша. Наприклад, не є простим числом, оскільки воно від'ємне, але воно є простим елементом. Якщо допускається факторизація на прості елементи, то навіть для цілих числах існують альтернативні факторизації, такі як
У загальному випадку, якщо — дільник одиниці, тобто число з мультиплікативно оберненим в кільці , і якщо — простий елемент, то добуток також є простим елементом. Такі числа і називають асоціативними. У множині цілих чисел прості числа і є асоціативними, але лише одне з них — додатне. Вимога, відповідно до якої прості числа були додатними, визначає єдиний простий елемент, обраний з множини асоціативних простих елементів. Проте коли поле не включає раціональні числа, аналога додатності немає. Наприклад, в множині цілих числах Гаусса Цей запис позначає кільце, отримане з кільця шляхом приєднання до елемента . числа та асоціативні, оскільки друге є добутком першого на уявну одиницю, але немає способу виокремити одне з них як більш канонічне за інше. Це призводить до таких співвідношень як
які доводять, що в кільці не є вірним твердження про єдиність факторизації з точністю до порядку множників. З цієї причини є прийнятим означення факторизації, що використовується у факторіальному кільці. У факторіальному кільці прості елементи, що зустрічаються у факторизації, є єдиними з точністю до оборотних елементів (дільників одиниці) та їх порядку.
Проте навіть при такому слабкому означенні багато кілець цілих чисел в алгебраїчних числових полях не допускають єдиної факторизації. Існує алгебраїчна перешкода — група класів ідеалів. Якщо група класів ідеалів тривіальна, то кільце є факторіальним кільцем. В іншому випадку існує відмінність між простим елементом та незвідним елементом.
Незвідний елемент — це такий елемент, що якщо має місце рівність , то елемент або є дільником одиниці. Тобто це елементи, які не можуть бути розкладені на множники у будь-який інший спосіб. Кожен елемент в кільці допускає факторизацію на незвідні елементи, але таких факторизацій може бути декілька. Це пов'язано з тим, що, хоча усі прості елементи є незвідними, деякі незвідні елементи можуть бути непростими. Наприклад, розглянемо кільце .Цей запис позначає кільце, отримане з кільця шляхом приєднання до кільця елемента . У цьому кільці числа , та є незвідними. Це означає, що число 9 має дві факторизації на незвідні елементи: