Тео́рія збу́рень — метод розв'язку математичних задач, що базується на відомому розв'язку й розглядає відхилення від цього розв'язку пропорційними певному малому параметру.
Квантова механіка Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв'язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредингера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредингера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.
Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні значення й власні функції гамільтоніана ,
де — гамільтоніан із відомим спектром, — малий параметр, — оператор збурення.
Для хвильових функції n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення
Для знаходження розв'язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметра .
Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді .
Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів :
Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану .
У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по члени) енергія n-го стану отримує приріст .
Зміна хвильової функції визначається формулою ,
де — власні значення незбуреного гамільтоніану , а
Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції .
У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні . .
Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли . Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не вироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.
Теорія збурень вироджених рівнів Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.
У випадку виродження існують власних функцій незбуреного гамільтоніана , що відповідають енергії .
Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв'язок збуреної задачі у вигляді
де — невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні за малим параметром систему рівнянь на власні значення енергії .
Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти , які визначають хвильові функції збурених станів.
У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.
Залежне від часу збурення Якщо збурення залежить від часу потрібно розв'язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера .
Функцію можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі .
Залежні від часу коефіцієнти розкладу повинні задовольняти систему рівнянь .
де , а . Ця система рівнянь повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи малим параметром, розв'язок можна шукати у вигляді розкладу .
Збираючи члени з однаковими степенями щодо , можна отримати ланцюжок рівнянь для наближених розв'язків
тощо.
В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному зі стаціонарних станів s, .
В першому наближенні теорії збурень .
Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде зі стану s у стан n задається формулою
Монохроматичне збудження Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді ,
то інтегрування можна виконати й отримати
Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при . При частотах зовнішнього збудження, які не збігаються з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При збігу виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.
При другим членом можна знехтувати, і тоді .
При залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі .
Класична механіка Багато задач, що залежать від часу у класичній механіці, призводять до рівнянь руху, які неможливо вирішити аналітично. Теорія збурень, що залежить від часу, у класичній механіці розглядає випадки, коли задача, яку ми хочемо вирішити за допомогою гамільтоніана H(q, p, t), «близька» до задачі з гамільтоніаном H0(q, p, t), для якої нам відомий точний розв'язок.
,
де ∆H - це мала величина.
Література
Віталій Костантинович Яцимирський - Фізична хімія.