Рівняння вихору у гідроаеродинаміці описує розгортання завихореності  частини рідини, яка рухається з потоком, тобто, описує завихореність локально (в термінах векторного обчислення це ротор швидкості потоку).

Рівняння вихору (рівняння еволюції вихору) — диференціальне рівняння з частинними похідними, яке описує еволюцію у просторі та часі вихору швидкості потоку рідини або газу. Вихор швидкості (завихореність) — це ротор швидкості. Рівняння вихору використовується в таких областях: гідродинаміка, геофізична гідродинаміка, астрофізична гідродинаміка, у обчисленні прогнозу погоди.

Рівняння вихору має такий вигляд:

де  — похідна Лагранжа,  — швидкість потоку, ρ — це локальна щільність рідини, p — локальний тиск, τ — це тензор в'язких напружень та  — позначає суму зовнішніх сил. Перший вираз правої частини означає розтягування вихору.

Рівняння є справедливе при відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів та лінійних сил, для стисливої ньютонівської рідини.

У випадку нестисливої (тобто, малих значень числа Маха) та ізотропної рідини, з консервативними силами, рівняння спрощується до транспортного рівняння вихору

де ν — кінематична в'язкість, а  — оператор Лапласа.

Фізична інтерпретація Вираз  — у лівій частині похідна Лагранжа вектору вихору . Описує швидкість зміни руху завихореності частини рідини. Ця зміна може бути пов'язана з нестійкістю в потоці (, нестаціонарний вираз) рухом частини рідини від однієї точки до іншої (, вираз конвекції). Вираз  у правій частині описує розтягування або нахил вихору за рахунок градієнту швидкості потоку. Зауважимо, що  — це тензор другого порядку з 9 компонентами. Вираз  описує розтягування вихору з точки зору стисливості процесу. Це випливає з рівняння Нав'є-Стокса для забезпечення безперервності, а саме

або

де   - це питомий об'єм елементів рідини,  — міра стисливості потоку. Іноді у виразі можуть бути від'ємні значення. Вираз  — баротропний вираз. Це зміна в завихореності через перетин щільності і тиску поверхонь. У виразі  обраховується дифузія внаслідок ефекту в'язкості. Вираз  передбачає зміни за рахунок зовнішніх сил. Це сили, які поширюються у тривимірній області поточного середовища, наприклад, гравітація або електромагнітні сили. 

Спрощення У випадку консервативних сил, . Для баротропних рідини, . Це також вірно і для постійної щільності рідини (в тому числі нестисливої рідини) де . Зауважимо, що це не те ж саме, що й у випадку нестисливої рідини, для якої баротропним виразом не можна знехтувати. Для нев'язкої рідини, тензор в'язкості τ дорівнює нулю. Таким чином, для нев'язкої, баротропної рідини з консервативними силами рівняння вихору спрощується до такого вигляду:

З іншого боку, в разі нестисливої нев'язкої рідини з консервативними силами,

Для короткого огляду інших випадків і спрощень, див. також.

Походження Рівняння вихору може бути отримано з рівнянь Нав'є-Стокса для консервативного моменту імпульсу. За відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів і лінійних сил, отримаємо

Тут, завихореність визначається як ротор вектора швидкості потоку. Знаходження ротора дає шукане рівняння.

Наступні тотожності є корисними при виводі рівняння:

(де ϕ — будь-яке поле скалярів).

Позначення тензору Рівняння вихору може виразити за допомогою позначень тензору, використовуючи нотація ейнштейна та Символ Леві-Чивіти eijk:

Спеціальні (конкретні науки)

Науки про атмосферу В науках про атмосферу, рівняння вихору може бути сформульоване в термінах абсолютної завихореності повітря по відношенню до інерціальної системі відліку, або завихореності по відношенню до обертання Землі. Абсолютна версія є такою

Тут, η полярний (z) компонент вихору, ρ — щільність атмосфери, u, v, та ω компоненти швидкості вітру, та  двовимірний оператор Гамільтона.

Рівняння Фрідмана

В загальному випадку рух ньютонівської рідини підпорядковується рівнянням Нав'є-Стокса. На відміну від форми рівняння Ейлера для нестисливої рідини, в ньому враховуються ефекти стисливості та внутрішнього тертя. Застосовуючи до рівняння Нав'є-Стокса диференціальний оператор rot  ми отримаємо рівняння Фрідмана.

Рівняння вихору турбулентної рідиниРівняння Фрідмана застосовується до турбулентних течій. Але в такому випадку, всі вхідні в нього величини повинні розумітися як усереднені (в сенсі О. Рейнольдса). Однак, слід мати на увазі, що таке узагальнення тут є недостатньо точним. Справа в тому, що при виводі рівняння Фрідмана не брався до уваги (через відносно мале значення) вектор щільності турбулентного імпульсу, де межа зверху — знак усереднення, штрих — відхилення від середнього. Ця обставина полягає в тому, що рівняння Фрідмана не може пояснити явище циклу індексу, в якому спостерігається зворотній баротропний обмін енергією і кутовим моментом(момент імпульсу) між упорядкованим і турбулентним рухами. 

Див. також Рівняння Нав'є-Стокса RANS Гідродинаміка Тиск Момент імпульсу

Література

Посилання Збірник задач з теоретичної механіки. Львів-2011.ЛНУ імені Івана Франка