Напівпростий лінійний оператор — лінійне перетворення векторного простору над полем для якого будь-який підпростір у , що є інваріантним щодо , має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо — лінійний підпростір, для якого , то також існує підпростір , такий що і також
Іншими словами, потрібно, щоб визначав на структуру напівпростого модуля над кільцем .
У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.
Приклади Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є: Ортогональна матриця Симетрична матриця Кососиметрична матриця Будь-яка діагоналізовна матриця
Властивості Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору і до фактор-простору . Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників. У випадку простору над алгебрично замкнутим полем це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним. Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір. Якщо поле є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля. Якщо — розширення поля і — продовження відображення на простір , то з того що є напівпростим випливає що і є напівпростим. Якщо є сепарабельним над , то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм називається абсолютно напівпростим, якщо є напівпростим для будь-якого розширення . Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля , тобто щоб ендоморфізм був діагоналізовним.
Див. також Діагоналізовна матриця Розклад Жордана — Шевальє
Джерела