В математиці, алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд зрештою стає рівним нулю. Він є Лі алгебраїчним аналогом нільпотентних груп.
Означення Нехай — алгебра Лі. Тоді називається нільпотентною якщо нижній центральний ряд рівний нулю починаючи з деякого члена, тобто якщо для деякого .
А саме
тож .
Еквівалентні означення Наслідком означення (1) є те, що
Тому для всіх . Тобто, є нільпотентним ендоморфізмом. Такий елемент в називається ad-нільпотентним.
Навпаки, якщо є скінченновимірною, умова (2) є еквівалентною умові (1), згідно теореми Енгеля Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді коли є ad-нільпотентною.
Іншою еквівалентною умовою нільпотентності є: є нільпотентною тоді і тільки тоді коли є нільпотентною алгеброю Лі. Це випливає з того що на основі (1) є нільпотентною, оскільки вкладені дужки Лі будуть мати форму, як в (1). Навпаки Proposition 1.32. і оскільки є гомоморфізмом алгебр Лі,
Якщо є нільпотентною, останній вираз рівний 0 для достатньо великих n, і відповідно це ж справедливо і для першого виразу. Але звідси отримується (1), тож алгебра є нільпотентною.
Приклади Нехай є скінченновимірним векторним простором над полем і — прапор векторних підпросторів. Підалгебра алгебри є нільпотентною алгеброю Лі. Якщо на просторі ввести базис, що узгоджується з то елементи алгебри визначаються верхніми трикутними матрицями з нулями на головній діагоналі. Якщо прапор є повним то відповідною алгеброю буде алгебра всіх верхніх трикутних матриць над полем розмірності n, що позначається Довільна скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є ізоморфною підалгебрі для деякого n. з точністю до ізоморфізмів є єдиною неабелевою нільпотентною алгеброю Лі розмірності 3. Якщо алгебра Лі має автоморфізм простого періоду без нерухомих точок за винятком , тоді є нільпотентною. Алгебра Гейзенберга є нільпотентною.
Властивості Кожна нільпотентна алгебра є розв'язною. Ця властивість є корисною для доведення розв'язності оскільки перевірка нільпотентності зазвичай є простішою. Обернене твердження загалом не є правильним. Наприклад алгебра (), що складається з верхніх трикутних матриць є розв'язною але не нільпотентною. Якщо алгебра Лі є нільпотентною то її підалгебри, гомоморфні образи, факторалгебри, центральні розширення і скінченні прямі суми є нільпотентними. Якщо факторалгебра , де є центром , є нільпотентною, то нільпотентною є і алгебра . Теорема Енгеля: Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді коли для всі елементи алгебри є ad-нільпотентними. Більш загально для довільного скінченновимірного представлення нільпотентної алгебри Лі для якого є нільпотентним для всіх існує такий повний прапор, що Узагальненням попередньої властивості є теорема Цасенгауза, згідно якої для довільного скінченновимірного представлення у векторному просторі над алгебраїчно замкнутим полем нільпотентної алгебри Лі простір на якому визначене представлення розкладається на пряму суму підпросторів обмеження на кожному з яких є сумою скалярного і нільпотентного лінійних операторів. Форма Кіллінга нільпотентної алгебри Лі рівна . Більш загально для довільної скінченновимірної алгебри Лі її нільпотентний ідеал є ортогональним до всієї алгебри відносно форми Кіллінга. Нільпотентна алгебра Лі має зовнішні автоморфізми, тобто автоморфізми які не є образами відображення Ad. Для скінченновимірної розв'язної алгебри Лі над полем характеристики 0 є нільпотентною алгеброю. Для довільної нільпотентної алгебри Лі розмірності більшої 1 корозмірність її комутатора Зокрема якщо то є абелевою. В довільній скінченновимірній алгебрі Лі існує найбільший нільпотентний ідеал, що називається нільрадикалом. У полі характеристики 0 нільрадикал складається з елементів для яких є нільпотентним лінійним перетворенням. Іншим важливим нільпотентним ідеалом є нільпотентний радикал, що за означенням рівний перетину ядер скінченновимірних незвідних представлень алгебри . Якщо — радикал алгебри (тобто максимальний розв'язний ідеал) то нільпотентний радикал рівний Факторалгебра є редуктивною алгеброю Лі і є мінімальним із ідеалів для яких виконується ця умова. Якщо — скінченновимірний векторний простір над полем характеристики 0 то довільна нільпотентна підалгебра Лі записується як , де — ідеали, що складаються відповідно з напівпростих і нільпотентних елементів з .
Див. також Нільпотентна матриця
Розв'язна алгебра Лі
Примітки
Література