В диференційній геометрії поняття зв'язності використовується для введення поняття паралельного перенесення, кривини і інших. Першочергово воно виникло для дотичних розшарувань диференційовних многовидів і згодом було узагальнено на інші типові об'єкти, зокрема головні розшарування особливо важливим прикладом яких для диференціальної геометрії є так звані реперні розшарування елементами яких є базиси відповідних дотичних просторів диференційовного многовиду.
Означення Нехай є головним розшаруванням зі структурною групою . Для даної групи відповідно визначена права дія на розшаруванні . Нехай, як звичайно, також позначає алгебру Лі групи .
Вертикальні вектори Для дана дія визначає ін'єктивне лінійне відображення Елементи простору , що є образами при цьому відображенні називаються вертикальними векторами. Для деякого елемента відображення для всіх точок задають векторне поле на головному розшаруванні, яке називається фундаментальним полем для і позначається . Кожне фундаментальне поле є вертикальним, тобто відповідний вектор у кожній точці є вертикальним. З локальної тривіальності головного розшарування і властивостей лівоінваріантних векторних полів на групі Лі випливає, що для всіх
Фактор-простір по підпростору вертикальних векторів є ізоморфним до . Зокрема відображення утворюють точну послідовність
Фактично задання зв'язності полягає у виборі доповнень в до підпростору вертикальних векторів. Ці доповнення визначаються як ядра деякої -значної 1-форми на розшаруванні, що для вертикальних векторів є оберненою до відображень
Зв'язність Формально зв'язністю називається -значна 1-форма , для якої виконуються дві умови: для всіх . для всіх . де позначає множення справа на елемент , — обмеження диференційної форми в точці , — приєднане представлення групи Лі
Другу умовуможна також можна записати за допомогою фундаментальних полів як для всіх .
Підпростір векторів, що належать ядру називається простором горизонтальних векторів. Якщо позначити його як , то справедливою є рівність: для всіх Ця рівність є еквівалентною першій умові у означенні зв'язності і часто використовується у означенні замість неї. Рівність легко отримується із означення зв'язності, адже якщо (тобто ) то Звідси, оскільки , то і відповідно Зважаючи, що розмірність і є однаковою, а є невиродженим лінійним відображенням, то насправді
Навпаки із рівності випливає, що обидві сторони у першій умові означення зв'язності для горизонтальних векторів є рівними нулю. Тому із лінійності цієї умови її достатньо перевірити для вертикальних векторів. У цьому випадку для точки можна розглянути локальну тривіалізацію і вважати, що Вертикальні вектори у такому випадку можна ідентифікувати із дотичними векторами до у точці Ін'єктивне відображення у цьому випадку задається як (де позначає множення зліва на елемент ) і тому Тоді:
Властивості і приклади На будь-якому тривіальному головному розшаруванню існує зв'язність яку задає класична Форма Маурера — Картана, якщо її значення визначати на другому аргументі добутку.
Будь-яка опукла комбінація форм, що задають зв'язності теж є зв'язністю. Як наслідок з цієї і попередньої властивості на довільному головному розшаруванні над паракомпактним гладким многовидом можна ввести зв'язність. Для цього потрібно ввести зв'язності породжені формами Маурера — Картана на локально скінченному покритті локально тривіальними відкритими підмножинами і застосувати відповідне розбиття одиниці.
Нехай і — два диференційовні головні розшарування зі структурною групою і також і — диференційовні відображення для яких Тоді для довільної зв'язності на диференційна форма є зв'язністю на
Кривина
Структурне рівняння Формою кривини для зв'язності називається 2-форма:
В формулі вище використані позначення , де справа позначає дужки Лі векторних полів і зовнішня похідна :
Якщо форма кривини всюди рівна нулю, то зв'язність називається плоскою. На розшаруванні можна ввести плоску зв'язність тоді і тільки тоді коли існує покриття бази відкритими множинами для яких є тривіальними розшаруваннями і функції переходу є константами.
Форма кривини є горизонтальною, тобто якщо хоча б один з її аргументів є вертикальним вектором, то в цій точці вона приймає нульове значення. Також форма кривини є -еквіваріантною, тобто
Для доведення -еквіваріантності достатньо довести -еквіваріантність для і Зокрема із еквіваріантності форми зв'язності, властивостей зовнішньої похідної і оберненого відображення і лінійності :
Також згідно властивостей приєднаного представлення і тому для і :
Для доведення горизонтальності нехай і і вектор є вертикальним. Необхідно довести, що:
Рівність достатньо довести для вертикальних і горизонтальних векторів Якщо є вертикальним, то існують такі елементи що Оскільки є константами,то з означення зовнішньої похідної:
що доводить твердження у цьому випадку (зокрема у точці p одержується початкова рівність ). Якщо є горизонтальним, то його можна розширити до горизонтального поля (тобто поля всі вектори якого є горионтальними). Для цього достатньо продовжити до будь-якого векторного поля і визначити Оскільки для вертикального поля (визначеного як і вище) і горизонтального поля справджуються рівності і то треба довести, що Але з означення дужок Лі векторних полів випливає, що:
З означення поля його потік визначається як Тому:
Остаточно що й завершує доведення.
Еквівалентні означення Тут , і відповідні вертикальні і горизонтальні вектори позначають елементи дотичного простору в деякій точці головного розшарування.
Розписуючи означення форми кривини через структурне рівняння:
із означень відразу одержується, що якщо і є горизонтальними векторами (дотичними в одній точці), то Більше того, оскільки кожен вектор розкладається як сума вертикального і горизонтального вектора і форма кривини є горизонтальною, то звідси можна одержати еквівалентне означення форми кривини:
Оскільки для горизонтальних векторів також то звідси одержується ще одне еквівалентне означення:
де позначає оператор, що дії на диференціальних формах і для n-форми за означенням
Із першого із еквівалентних означень випливає зокрема, що зв'язність є плоскою, якщо і тільки якщо дужки Лі двох довільних горизонтальних векторних полів теж є горизонтальним векторним полем, а форма кривини в певному сенсі вимірює наскільки ця властивість виконується на головному розшаруванні.
Рівність Б'янкі Тут , , і відповідні вертикальні і горизонтальні вектори позначають елементи дотичного простору в деякій точці головного розшарування.
Зовнішня похідна форми кривини рівна: . Дійсно: , оскільки , згідно тотожності Якобі.
Якщо , і є горизонтальними векторами, то і звідси одержується ще одна форма рівності Б'янкі: . Паралельне перенесення Для довільної гладкої кривої і точки існує єдина крива для якої і окрім того дотичний вектор до є горизонтальним вектором у відповідній точці кривої.
Для довільної гладкої кривої можна визначити відображення
Відображення , називається паралельним перенесенням вздовж кривої .
Для довільної точки введені відображення визначають групу голономій як підкрупу групи дифеоморфізмів простору щодо паралельних перенесень вздовж замкнутих кривих з початком і кінцем в цій точці. А саме якщо гладка крива для якої і то визначена як вище крива для якої визначає відображення . Дане відображення є автоморфізмом простору Група автоморфізмів для всіх таких кривих називається групою голономій.
Див. також Афінна зв'язність Головне розшарування Зв'язність на векторних розшаруваннях Форма Маурера — Картана
Посилання Manifold Atlas
Література