У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.
Визначення Елемент комутативного кільця з одиницею називається простим, якщо не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів з того що ділить добуток випливає, що ділить також хоча б один з елементів або .
Властивості Якщо є простим елементом і є оборотним елементом, то добуток теж є простим елементом. Для елемента породжений ним ідеал є простим тоді і тільки тоді, коли є простим елементом. Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним: Припустимо, що є простим елементом і існує розклад на добуток елементів Тоді або Нехай тоді Оскільки є областю цілісності то Тож є оборотним елементом і є незвідним. Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади). Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.
Приклади Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів. Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …). Простими елементами в кільці гаусових чисел є добуток і простих чисел виду , а також числа , для яких є простим числом, зокрема Числа , і не є простими. Область цілісності (множина чисел виду де разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема проте 2 не ділить жодне з чисел . В іншому випадку норма числа 2 ділила б норму котрогось з цих чисел. Але Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник мав би задовольнять рівність що неможливо. В кільці що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але тож вони не є незвідними.
Див. також Незвідний елемент Простий ідеал
Джерела