У математиці класифікацією простих скінченних груп називають теорему, згідно з якою будь-яка скінченна проста група належить до одного з описаних нижче класів. Ці класи можна розглядати як елементарні будівельні блоки, з яких побудовані всі скінченні групи, таким же чином, як прості числа є «цеглинами», з яких побудовані всі натуральні числа. Теорема Жордана — Гьольдера є більш математично чітким виразом цього принципу.

Доведення теореми про класифікацію займає десятки тисяч сторінок, і складається з кількох сотень окремих статей, опублікованих, переважно, між 1955 і 2004 роками. Горенстейн, Ліонс і Соломон опублікували між 1994 і 2005 роками переглянуті й спрощені версії доказів.

Положення теореми про класифікацію

Кожна скінченна проста група є ізоморфною одній з наступних групThe Classi cation of Finite Simple Groups : Циклічна група (Zn) простого порядку (цей і два наступних класи включають в себе нескінченну кількість груп) Знакозмінна група перестановок (An) не менш як 5 елементів Прості групи Лі Одна з 26 спорадичних груп (яка іноді вважається 27-ю спорадичною групою)

Теорема про класифікацію має застосування в багатьох галузях математики, через те, що багато питань, що стосуються скінченних груп, можуть бути зведені до простих скінченних груп. Завдяки теоремі про класифікацію, на ці питання можна знайти відповідь, перебравши усі типи простих скінченних груп.

Історія Перші прості скінченні групи були знайдені ще Галуа, творцем теорії груп — він відкрив знакозмінні групи, а також проєктивну групу рангу 2, а в 60-х роках XIX століття Матьє відкрив перші п'ять спорадичних групГрандиозная теорема , проте до початку XX століття математики вважали класифікацію всіх скінченних груп нездійсненною мрією. Утім, у першій половині XX століття, з розвитком інструментів дослідження груп, ситуація змінилася. Важливим етапом у цьому стала теорема Брауера — Фаулера про те, що існує лише скінченна кількість простих груп із заданим централізатором інволюції. Ще важливішою була теорема Томпсона — Фейта, що була доведена в 1962 році й стверджувала, що будь-яка некомутативна проста група містить парну кількість елементів — фактично, вона частково розв'язала проблему класифікації, а саме, показала, що всі прості групи з непарною кількістю елементів є групою лишків за простим модулем.

В 1972 році запропонував програму з 16 пунктів, виконання якої дозволило б побудувати повну класифікацію груп. Завдяки скоординованим зусиллям великої кількості математиків, що взялися за доведення цих окремих пунктів, вже до кінця 1970-х практично вся ця програма була виконана. У 1980 році Горенстейн оголосив про остаточне доведення теореми про класифікацію. На той час, сукупний об'єм усіх доведень займав щонайменше 15000 сторінок.Математика XX века. Взгляд из Петербурга Проте, ще деякий час після цього з'являлися доповнення і уточнення до цієї теореми, так, Р. Грісс — молодший відкрив останню спорадичну групу, що носить назву група-монстр і має порядок приблизно 8×1053, лише в 1982 році, а ще через деякий час з'ясувалося, що класифікація не включає в себе . Цю прогалину заповнив Ашенбах у 2004 році своїм 1200-сторінковим доведеннямThe Classification of Quasithin Groups: II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups .

У 1982 році Горенстейн започаткував нову велику програму по ревізії теореми про класифікацію, для знаходження коротшого й простішого доведення. Ця робота тривала і в XXI столітті. Спрощена форма доведення ще не написана до кінця, але, ймовірно, буде займати менше 10 000 сторінок.

Детальний список класів простих груп

Нескінченні класи Групи лишків за простим модулем Zp Знакозмінні групи Altn, парні перестановки n літер Лінійні групи Шевалле An(q), n>1 або q<3 Симплектичні групи Шевалле Cn(q), n>2 Ортогональні групи Шевалле Bn(q), n>2 або q>2 Dn(q), n>3 Виняткові групи Шевалле G2(q), q>1 F4(q) E6(q) E7(q) E8(q) Групи Стейнберга 2An(q), n>2 або q>2 2Dn(q), n>3

Групи Судзукі 2B2(q), q=2m, m непарне, m>1 Групи Рі 2G2(q), q=3m, m непарне, m>1 2F4(q), q=2m, m непарне, [для q=2, 2F4(2)']

Спорадичні групи

Група Число елементів Групи Матьє M11 24×32×5×11 = 7 920 M12 26×33×5×11 = 95 040 M22 27×32×5×7×11 = 443 520 M23 27×32×5×7×11×23 = 10 200 960 M24 210×33×5×7×11×23 = 244 823 040 Групи Янко J1 23×3×5×7×11×19 = 175 560 J2 27×33×52×7 = 604 800 J3 27×35×5×17×19 = 50 232 960 J4 221×33×5×7×113×23×29×31×37×43 ≈ 8,68×1019 Група Хигмена–Сімса HS 29×32×53×7×11 = 44 352 000 Група Маклафліна Mc 27×36×53×7×11 = 898 128 000 Спорадична група Судзукі Suz 213×37×52×7×11×13 ≈ 4,48×1011 Група Рудваліса Ru 214×33×53×7×13×29 ≈ 1,46×1011 Група Хелда He 210×33×52×73×17 ≈ 4 030 387 200 Група Лайенса Ly 28×37×56×7×11×31×37×67 ≈ 5,18×1016 Група О'Нена ON 29×34×5×73×11×19×31 ≈ 4,61×1011 Групи Конвея C1 221×39×54×72×11×13×23 ≈ 4,16×1018 C2 218×36×53×7×11×23 ≈ 4,23×1013 C3 210×37×53×7×11×23 ≈ 4,96×1011 Групи Фішера F22 217×39×52×7×11×13 ≈ 6,46×1013 F23 218×313×52×7×11×13×17×23 ≈ 4,09×1018 F24 221×316×52×73×11×13×17×23×29 ≈ 1,26×1024 Група Харади F5 214×36×56×7×11×19 ≈ 2,73×1014 Група Томпсона F3 215×310×53×72×13×19×31 ≈ 9,07×1016 Група Фішера F2 («монстреня») 241×313×56×72×11×13×17×19×23×31×47 ≈ 4,15×1033 Група Фішера–Грісса F1 («монстр», «дружній велетень») 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8,08×1053

Доведення другого покоління Доведення, що було практично завершене близько 1985 року, можна назвати доведенням першого покоління. Через надзвичайну його довжину, багато зусиль було покладене на те, щоб знайти нове, простіше доведення, що отримало назву доведення другого покоління. Рух, що мав на меті знайти це доведення, отримав назву «ревізіонізм», і також був започаткований Горенстейном. Шість томів нового доведення були випущені у 1994, 1996, 1998, 1999, 2002 і 2005 роках. У 2012 році Соломон оцінив ще невипущену частину доведення у 5 томів. Таким чином, загальний об'єм доведення другого покоління буде займати приблизно 5000 сторінок, не рахуючи двох томів Ашенбаха і Сміта присвячених квазітонким групам.

Горенстейн і його група вказує наступні причини, чому простіше доведення можливеThe lassification of the Finite Simple Groups : Найбільш важливим є те, що відоме кінцеве твердження, що доводиться. Доки теорема про класифікацію не була доведена, не було відомо, скільки саме спорадичних груп існує, а отже, саме її формулювання не було відоме, що значно ускладнювало роботу. Як результат — різні частини теореми доводилися за допомогою різних технік, хоча могли бути генералізовані. Деякі зі спеціальних випадків, що у доведенні першого покоління описувалися окремими теоремами, можуть бути об'єднані, і доведені більш загальним способом. Недоліком цього є те, що загальне доведення може бути складнішим для сприйняття, ніж кожне окреме. Багато теорем з доведення першого покоління перекриваються, через те, що кордони між різними класами груп були проведені не найдоцільнішим чином. Перевизначення цих класів дозволить обійтися розглядом меншої кількості випадків. Математики, що займаються теорією груп стали більш досвідченими і мають більшу кількість інструментів для такої роботи.

Завершеність доведення Хоча наразі доведення теореми про класифікацію вважається завершеним і коректним, деякі математики, в тому числі і ті, хто доклав великих зусиль для її доведення, як, наприклад, АшбахерWhither Mathematics? , вважають, що не можна бути абсолютно впевненим, що не існує ніякої спорадичної групи, яка була пропущена в цьому доведенні. Загалом, наразі не всі роботи, що складають доведення теореми, є фактично опублікованими.

Примітки

Додаткові джерела Атлас скінченних груп