Добуток мір — задання міри на декартовому добутку двох множин з мірою. Має широке застосування в теорії міри, теорії ймовірностей і функціональному аналізі.
Побудова Нехай — два вимірних простори, а — декартовий добуток множин і .
є сім'єю підмножин . Воно не є сигма-алгеброю. Позначимо
мінімальну -алгебру, що містить всі множини з . Тоді — вимірний простір. Визначимо на ньому міру як:
можна продовжити з на :
і
де — перетин вздовж , а — перетин вздовж .
Визначена міра називається добутком мір і . Простір з мірою називається (прямим) добутком початкових просторів з мірою.
Властивості Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів. Для просторів з мірою добуток мір може бути визначеним неоднозначно. Достатньою умовою однозначності добутку мір є сигма-скінченність обох мір. Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір такий, що якщо значення є скінченним то для всіх добутків мір їх значення на множині A теж рівне
Визначення в теорії ймовірностей Якщо — два ймовірнісних простори, то називається їх добутком. Якщо — випадкові величини, то — розподіли на і відповідно, а — розподіл на випадкового вектора . Якщо — незалежні, то
Приклад Міра Лебега на може бути визначена як добуток одновимірних мір Лебега на :
де позначає борелівську -алгебру на просторі , і
Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай На першій множині введемо звичайну міру Лебега, на другій — лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A×B, де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною. На діагоналі множини перша міра рівна 0, а друга — нескінченності.
Див. також Теорема Фубіні.
Джерела