Правильний n-вимірний многогранник — многогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.
Визначення Прапором n-вимірного многогранника називається набір його граней , де є -вимірна грань многогранника Р, причому для .
Правильний n-вимірний многогранник — це опуклий n-вимірний многогранник , у якого для будь-яких двох його прапорів і знайдеться рух , який переводить в .
Класифікація
В розмірності n = 4
Існує 6 правильних чотиривимірних многогранників (багатокомірників): НазваЗображення(діаграма Шлегеля)СимволШлефліКоміркаЧислокомірокЧислогранейЧислореберЧисловершин5-комірник{3,3,3}правильний тетраедр510105Тесеракт{4,3,3}куб824321616-комірник{3,3,4}правильний тетраедр163224824-комірник{3,4,3}октаедр24969624120-комірник{5,3,3}додекаедр1207201200600600-комірник{3,3,5}правильний тетраедр6001200720120
В розмірності n ≥ 5 У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних многогранники (політопи): НазваСимвол Шлефліn-вимірний правильний симплекс{3;3;...;3;3}n-вимірний гіперкуб{4;3;...;3;3}n-вимірний гіпероктаедр{3;3;...;3;4}
Геометричні властивості
Кути Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника, заданого своїм символом Шлефлі , визначається за формулою
де — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника.
Радіуси, об'єми Радіус вписаної N-вимірної сфери:
де — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.
Об'єм N-вимірного многогранника:
де — об'єм (N-1)-вимірної межі, — кількість (N-1)-вимірних граней.
Замощення
В розмірності n = 4
В розмірності n ≥ 5
Див. також Платонове тіло
Примітки
Посилання Наочний приклад на YouTube