Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.
Визначення
Для дійсної або комплексної матриці розміру експонента від , що позначається як або — матриця розміру , визначена за допомогою ряду:
, де — k-а степінь матриці .
Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо , де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то .
Звідси , що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.
Якщо — матриця розміру , то матрична експонента від є матриця розмірності , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента .
Еквівалентне визначення Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.
де — одинична матриця відповідної розмірності.
Ця рівність є аналогічною до рівності що виконується для дійсних і комплексних чисел.
Для доведення рівності використовується формула де a може бути як числом, так і матрицею.
Тоді якщо для тої ж норми, що й вище то:
при що й доводить твердження.
Властивості
Основні властивості Для комплексних матриць і розміру , довільних комплексних чисел і , одиничної матриці і нульової матриці , експонента має наступні властивості: ; Матриці і комутують, тобто Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з .
Якщо , то ; Якщо — невироджена матриця, то . , де позначає транспоновану матрицю до , це означає, що якщо є симетричною, то теж симетрична, а якщо — кососиметрична матриця, то — ортогональна; , де позначає ермітово-спряжену матрицю для , це означає, що якщо — ермітова матриця, то теж ермітова, а якщо — антиермітова матриця, то — унітарна. де — визначник, а — слід матриці.
Експонента суми Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) і експоненціальна функція задовольняє рівнянню , це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці і комутують (тобто ), то . Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення використовується формула добутку Лі і для більш детального опису формула Бейкера — Кемпбелла — Гаусдорфа.
У загальному випадку з рівності не випливає, що і комутують.
Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.
Нерівність Голдена - Томпсона Якщо і — ермітові матриці, то : , де — слід матриці . Комутативність для виконання цього твердження не потрібна. Існують контрприклади, які показують, що нерівність Голдена — Томпсона не може бути узагальнена на три матриці, а не завжди є дійсним числом для ермітових матриць , і .
Теорема Ліба Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба, стверджує, що для фіксованої ермітової матриці , функція:
є увігнутою на конусі додатноозначених матриць .
Експоненціальне відображення Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до матриця рівна , це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:
з простору всіх матриць розмірності на загальну лінійну групу порядку , тобто групу всіх невироджених матриць розмірності . Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці.
Твердження про сюр'єктивність є неправильним, якщо замість поля комплексних комплексних чисел , розглядати поле дійсних чисел . У цьому випадку відображення не є сюр'єктивним. Зокрема оскільки то кожен елемент образу відображення має додатний визначник. Загалом дійсна матриця із додатним визначником є експонентою іншої дійсної матриці тоді і тільки тоді, коли кожен жордановий блок у її жордановій нормальній формі, що відповідає від'ємному власному значенню зустрічається у відповідній жордановій нормальній формі парну кількість разів.
Натомість елементи виду породжують підгрупу матриць із додатним визначником, оскільки ця підгрупа є зв'язною і містить одиничну матрицю.
Наприклад матриця не є експонентою дійсної матриці. Оскільки не є діагональною і є жордановим блоком вона не є діагоналізовною навіть у полі комплексних чисел. Але якщо , то власні значення матриці мають бути логарифмами від -1, тобто уявними числами. Також їх сума має бути рівною логарифму від 1 і рівною сліду матриці . Оскільки є дійсною матрицею, то цей слід може бути рівним лише 0. Таким чином власті значення є різними і ця матриця має бути діагоналізовною у полі комплексних чисел, як і її експонента. Це суперечить недіагоналізовності . Матриця має єдиний жордановий блок, що відповідає від'ємному числу -1.
Натомість над полем комплексних чисел:
Також, як матриця ыз додатним визначником є добутком скінченної кількості експонент дійсних матриць. Наприклад:
і також:
Для будь-яких двох матриць і має місце нерівність , де позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах .
Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині де — множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:
Диференціювання Відображення:
визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при .
Похідна цього відображення визначається формулою:
Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:
Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність:
де — лінійне відображення визначене для довільної матриці
У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:
Взявши в формулі для диференціювання отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці
При ця рівність спрощується до
Системи лінійних диференціальних рівнянь Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами Юрій Головатий Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами . Розв'язок системи: , де — стала матриця, дається виразом:
Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду . Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду , де — матриця елементи якої не є константами, але дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.
Приклад однорідної системи Для системи:
матриця рівна:
Можна показати, що експонента від матриці є
таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:
Приклад неоднорідної системи Для розв'язку неоднорідної системи:
вводяться позначення:
і
Так як сума загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку дають загальний розв'язок неоднорідного рівняння, залишається лише знайти частковий розв'язок. Так як:
де — початкова умова.
Узагальнення: варіація довільної сталої У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді:
Щоб була розв'язком, має виконуватися наступне:
Таким чином:
де визначається з початкових умов задачі.
Див. також Експонента (теорія груп Лі)
Примітки
Джерела
Посилання Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential» , MathWorld Module for the Matrix Exponential