В математиці і теоретичній фізиці дзеркальною симетрією називається еквівалентність многовидів Калабі — Яу в наступному сенсі. Два многовиди Калабі — Яу можуть бути абсолютно різними геометрично, але давати однакову фізику елементарних частинок при використанні їх як «згорнутих» додаткових розмірностей теорії струн. Самі такі многовиди називають дзеркально симетричними.

Дзеркальна симетрія була спочатку виявлена фізиками. Математики зацікавилися цим явищем близько 1990 року, коли Філіп Канделас, Ксенія де ла Осса, Пол Грін і Лінда Паркс показали, що дзеркальну симетрію можна використовувати як інструмент в обчислювальній геометрії  — розділі математики, що займається підрахунком кількості відповідей на ті чи інші геометричні питання. Канделас і співавтори показали, що дзеркальна симетрія може бути використана для підрахунку числа раціональних кривих на многовиді Калабі — Яу. Ця задача довгий час залишалась нерозв'язаною. Незважаючи на те, що первинний підхід до дзеркальної симетрії базувався на ідеях, сформульованих на фізичному рівні, математики змогли строго довести деякі з тверджень, які були передбачені фізиками.

Зараз дзеркальна симетрія є однією з найбільш мейнстримових областей досліджень в області чистої математики, і математики працюють над розвитком математичного розуміння цього, заснованого на фізичній інтуїції, явища. Крім того, дзеркальна симетрія є основним інструментом обчислень у теорії струн; також вона використовувалася для розуміння деталей квантової теорії поля, формалізму, за допомогою якого фізики описують елементарні частинки. Основні підходи до дзеркальної симетрії включають в себе програму гомологічної дзеркальної симетрії Максима Концевича і Стромінджера, Яу і .

Огляд

Струни і компактифікація

Теорія струн — теорія, в якій фундаментальними об'єктами є не точкові частинки, а одномірні об'єкти, звані струнами. Струни бувають відкриті і замкнуті; відкриті виглядають як відрізки, замкнуті — як петлі. Теорія струн займається описом того, як ці фундаментальні об'єкти — струни — поширюються в просторі і взаємодіють одна з одною. На відстанях більшіх, ніж довжина Планка, струна виглядає як точкова частинка зі своїми масою, зарядом та іншими властивостями, залежними від коливальної моди струни. Розщеплення й рекомбінація струн відповідають випусканню і поглинанню частинок — таким чином, у нас є струнна мова, якою описується взаємодія частинокДоступне введення в теорію струн, наприклад, див. у Гріне, 2000..

Між світом, який описується теорією струн, і світом, з яким ми стикаємося в повсякденності, є істотна різниця. У звичайному житті ми спостерігаємо три просторові виміри (вгору/вниз, наліво/направо, і вперед/назад) і одне часове (раніше/пізніше). Таким чином, мовою сучасної фізики, простір-час є чотиривимірнимWald 1984, p. 4. Однією з особливостей теорії струн є той факт, що для її самоузгодженості потрібні додаткові виміри простору-часу. У теорії суперструн (версії теорії струн, яка включає в себе суперсиметрію) потрібно шість додаткових розмірностей простору-часу на додачу до звичних чотирьохZwiebach 2009, p. 8.

Одна з цілей поточних досліджень в області теорії струн — розвинути моделі, в яких струни описували б поведінку частинок, що спостерігається в експериментах фізики високих енергій. Світ, в якому ми спостерігаємо частинки, здається нам чотиривимірним. Таким чином, необхідно вибрати спосіб редукції до чотирьох вимірів на звичних нам відстанях. У найреалістичніших теоріях це досягається шляхом процесу компактифікації, в якому додаткові виміри «замикаються» самі на себе в колаYau and Nadis 2010, Ch. 6. Якщо ці «згорнуті» додаткові виміри виявляються дуже малими, нам буде здаватися, що простір-час в такій теорії має меншу кількість вимірів. Стандартна аналогія тут — садовий шланг. Якщо дивитися на садовий шланг з досить великої відстані, він справляє враження одновимірного об'єкта. Водночас, якщо до нього наблизитися, буде видно і другий вимір, який відповідає колу. Так, мураха, що повзе по поверхні шланга, насправді пересувається у двох вимірах, а не в одномуЦю аналогію наводить, наприклад, Грін, 2000, стр. 186.

Многовиди Калабі — Яу

За допомогою компактифікації можна перетворювати отримувані теоретично багатовимірні простори в ефективно чотиривимірні. Однак не кожен спосіб компактифікації приводить до чотиривимірного простору, який міг би описувати наш світ. Можна прийти до результату, що компактні додаткові розмірності повинні мати форму многовиду Калабі — Яу. Многовид Калабі — Яу — (зазвичай комплексно тривимірне) простір, головною властивістю якого є тривіальність канонічного розшарування. Воно назване на честь Еудженіо Калаби, який сформулював гіпотезу про існування та єдиності відповідної метрики — гіпотезу Калабі — і Шінтана Яу, який її довівYau and Nadis 2010, p. ix.

Після того, як многовиди Калабі — Яу увійшли у фізику (як спосіб компактифікувати «зайві» виміри), фізики почали їх інтенсивно вивчати. Наприкінці 80-х Вафа та інші помітили, що за отримуваним чотиривимірним простором неможливо однозначно відновити многовид Калабі — Яу, за допомогою якого проводили компактифікаціюDixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989. Замість цього дві різні теорії струн — теорія струн типу IIA і теорія струн типу IIB — можуть бути скомпактифіковані за допомогою абсолютно різних многовидів Калабі — Яу таким чином, що це приведе до однієї й тієї самої фізикиГеометрію того чи іншого многовиду Калабі — Яу описують за допомогою ромба Ходжа — чисел Ходжа, що записані у вигляді ромба. Ромби Ходжа дзеркально симетричних многовидів переходять один в одного при повороті на 90 градусів. For more information, see Yau and Nadis 2010, p. 160-3.. Такі два многовиди Калабі — Яу називаються дзеркально симетричними, і відповідність між двома вихідними теоріями струн (точніше, конформними теоріями поля, якими вони описуються) називається дзеркальною симетрієюAspinwall et al. 2009, p. 13.

Дзеркальна симетрія — окремий випадок того, що фізики називають дуальністю. Дуальностями називаються ситуації, коли дві різні фізичні теорії виявляються нетривіальним способом еквівалентними. Якщо можна зробити таке перетворення, що рівняння однієї теорії збігаються з рівняннями іншої теорії, то дві такі теорії називають дуальними стосовно цього перетворення. Можна сказати по-іншому: дві дуальні теорії є математично різними описами одного і того самого явищаHori et al. 2003, p. xvi. Такі дуальності часто виникають у сучасній фізиці, особливо в теорії струнПриклади інших дуальності, які виникають у теорії струн — S-дуальність, T-дуальність, AdS/CFT-відповідність..

Безвідносно до того, чи мають стосунок компактифікації теорії струн за допомогою многовидів Калабі — Яу до реального світу, існування дзеркальної симетрії має суттєві математичні наслідкиZaslow 2008, p. 523. Многовиди Калабі — Яу є об'єктом вивчення чистої математики і за допомогою дзеркальної симетрії дозволяють математикам вирішувати завдання обчислювальний алгебраїчної геометрії. Типова задача обчислювальний геометрії — підрахувати число раціональних кривих на многовиді Калабі — Яу (наприклад, на такому, яке зображене вище). Користуючись дзеркальною симетрією, математики показали, що у цієї задачі є еквівалентна їй для дзеркально симетричного многовиду, яку простіше розв'язатиYau and Nadis 2010, p. 168.

Фізики отримали дзеркальну симетрію не вдаючись до математичних міркуваньHori and Vafa 2000. Водночас математиків зазвичай цікавлять математично строгі докази — докази, в яких немає місця фізичній інтуїції. З математичної точки зору, описана вище версія дзеркальної симетрії є все ще припущенням, але існує інша версія дзеркальної симетрії — версія, що пов'язана з топологічною теорією струн, спрощеною теорією струн, яку ввів ВіттенWitten 1990 і строго довели математииGivental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000. Мовою топологічної теорії струн, дзеркальна симетрія — це твердження про еквівалентність A-моделі та B-моделі; вони еквівалентні в тому сенсі, що пов'язані дуальністюZaslow 2008, p. 531. Нині математики активно працюють над розвитком математичного розуміння дзеркальної симетрії, яку виявили ​​фізики у вигляді мови, якою зручніше думати фізикамHori et al. 2003, p. xix. Зокрема, математики поки що не цілком розуміють, як будувати нові приклади дзеркально симетричних многовидів Калабі — Яу, попри певний прогрес у цій галузіZaslow 2008, p. 537.

Історія Витоки дзеркальної симетрії слід шукати в середині 1980-х, коли помітили, що замкнута струна, яка розповсюджується по колу радіуса , фізично еквівалентна замкнутій струні, що розповсюджується по колу радіуса (в деякій системі одиниць)This was first observed in Kikkawa and Yamasaki 1984 and Sakai and Senda 1986.. Це явище називається T-дуальністю і тісно пов'язане з дзеркальною симетрієюStrominger, Yau, and Zaslow 1996. У статті 1985 року Канделас, Горовіц, Стромінджер і Віттен показали, що, компактифікуючи теорію струн многовидом Калабі — Яу, можна одержати теорію, схожу на стандартну модель фізики частинокCandelas et al. 1985. Йдучи за цим міркуванням, фізики почали вивчати компактифікації многовидів Калабі — Яу сподіваючись побудувати фізику частинок, що описує реальний світ, яка була б наслідком теорії струн. Вафа та інші помітили, що за цією моделлю чотиривимірної фізики частинок можна однозначно відновити многовид Калабі — Яу, за допомогою якого відбувалася компактифікація. Замість цього є два многовиди Калабі — Яу, які приводять до однакових чотиривимірних теорій фізики частинокThis was observed in Dixon 1988 and Lerche, Vafa, and Warner 1989..

Вивчаючи відповідності між многовидами Калабі — Яу і визначеними конформними теоріями поля (моделями Гепнера), Браян Грін і Ронен Плессер знайшли нетривіальні приклади дзеркальної відповідностіGreen and Plesser 1990; Yau and Nadis 2010, p. 158. Подальшого розвитку це питання набуло дещо пізніше, коли Філіп Канделас і два його студенти перевірили велику кількість многовидів Калабі — Яу на комп'ютері і виявили, що кожне з них є «дзеркально симетричною парою» для якого-небудь іншогоCandelas, Lynker, and Schimmrigk 1990; Yau and Nadis 2010, p. 163.

Математики зацікавилися дзеркальною симетрією близько 1990 року, коли фізики Філіп Канделас, Ксенія де ла Осса, Пол Грін і Лінда Паркс показали, що з її допомогою можна вирішувати задачі з обчислювальної геометрії, що не піддавалися десятиліттямиCandelas et al. 1991Yau and Nadis 2010, p. 165. Ці результати були представлені на конференції в Берклі в травні 1991-го. Під час цієї конференції було відмічено, що одне з чисел, які отримав Канделас при підрахунку раціональних кривих не збіглося з числом, яке отримали норвезькі математики Гайрі Еллінгсруд і Стейн Арілд Стромме, які використовували, мабуть, більш строгі міркуванняYau and Nadis 2010, pp. 169—170. Більшість математиків на конференції вважало, що робота Канделаса містила помилку, оскільки базувалася на математично нестрогих судженнях. Однак незабаром Еллінгсруд і Стромме знайшли помилку у своїй комп'ютерній програмі і, виправивши код, отримали відповідь, що збіглася з відповіддю Канделаса і його співавторівYau and Nadis 2010, p. 170.

1990 року Едвард Віттен представив топологічну теорію струн — спрощену версію теорії струн, і фізики показали, що для неї теж є своя дзеркальна симетріяVafa 1992; Witten 1992Hori et al. 2003, p. xviii. У посланні до Міжнародного математичного конгресу в 1994 році Максим Концевич представив математичну гіпотезу, яка заснована на виявленому на фізичній мові явищі дзеркальної симетрії в топологічній теорії струн. Ця гіпотеза відома як гіпотеза гомологічної дзеркальної симетрії і формалізує поняття дзеркальної симетрії як твердження про еквівалентність двох похідних категорій: похідної категорії когерентних пучків на многовиді Калабі — Яу і похідної категорії Фука, побудованої по дзеркально симетричному многовидуKontsevich 1995a.