Математичні позначення — символи, які використовують для компактного запису математичних рівнянь і формул Лейбніц в листі Чірнгауз (1678) писав: «Слід дбати про те, щоб позначення були зручні для відкриттів. Це досягається найбільшою мірою тоді, коли знаки коротко виражають і як би відображають найглибшу природу речі; при цьому дивним чином скорочується робота мислення».. Крім цифр та літер різних алфавітів (латинського, у тому числі в готичному накресленні, грецького та єврейського), математична мова використовує безліч спеціальних символів, винайдених за останні кілька століть.
Алгебра
Об'єкти та операції
0123456789
Для позначення цифр від 1 до 9 в Індії з VI століття до н. е. використовували писемність «брахмі», з окремими знаками для кожної цифри. Трохи видозмінившись, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими, а самі араби — індійськими. У зв'язку з винаходом десяткової позиційної системи запису чисел (близько 500 р н. е.), знадобився новий значок для нуля. Вчені розходяться в думках, звідки до Індії прийшла ця ідея — від греків, з Китаю або індійці винайшли цей важливий символ самостійно. Перший код нуля виявлений у записі 876 року, він має вигляд звичного нам кружечка.
Десяткова кома, що відокремлює дробову частину числа від цілої, введена італійським астрономом Маджині (1592) та Непером (1617). Раніше замість коми ставили інші символи — вертикальну риску: 3 | 62, чи нуль у дужках: 3 (0) 62; деякі автори, які наслідували ал-Каші, вживали чорнило різного кольору. В Англії замість коми віддавали перевагу крапці, яку ставили посередині рядку; цю традицію перейняли в США, проте змістили крапку вниз, щоб не плутати її зі знаком множення.
«Двоповерховий» запис звичайного дробу використовували ще давньогрецькі математики, хоча знаменник вони записували над чисельником, а риски дробу не було. Індійські математики перемістили чисельник наверх; через арабських математиків цей формат перейняли в Європі. Дробову риску вперше в Європі ввів Леонардо Пізанський (1202), але в ужиток вона увійшла лише за підтримки Йоганна Відмана (1489).
Знаки плюса та мінуса придумали, мабуть, в німецькій математичній школі «косистів» (тобто алгебраїстів). Їх використано у підручнику Йоганна Відмана «Швидкий та приємний рахунок для всіх торговців», виданому в 1489 році. До цього додавання позначалося буквою p (plus) або латинським словом et (сполучник «та»), а віднімання — буквою m (minus). У Відмана символ плюса замінює не тільки додавання, але й сполучник «та». Походження цих символів неясне, але, найімовірніше, їх раніше використовували у торговій справі як ознаки прибутку та збитку. Обидва символи незабаром отримали загальне поширення в Європі — за винятком Італії, яка ще близько століття використовувала старі позначення .
Знак множення ввів в 1631 році Вільям Отред (Англія) у вигляді косого хрестика. До нього використовували найчастіше букву M, хоча пропонували й інші позначення: символ прямокутника (Ерігон, 1634), зірочка (Йоганн Ран, 1659). Пізніше Лейбніц замінив хрестик на крапку (кінець XVII століття), щоб не плутати його з буквою x; до нього така символіка зустрічалася у Регіомонтана (XV століття) та англійського вченого Томаса Герріота (1560—1621).
Знаки ділення. Отред віддавав перевагу косій рисці. Двокрапкою поділ став позначати Лейбніц. До них часто використовували також букву D. Починаючи з Фібоначчі, використовують також горизонтальну риску дробу, яку вживали ще Герон, Діофант та яка зустрічається в арабських творах. В Англії та США поширення отримав символ ÷ (обелюс), який запропонував Йоганн Ран (можливо, за участю Джона Пелла) в 1659 році. Спроба Американського національного комітету з математичних стандартів () вивести обелюс з практики (1923) виявилася безрезультатною.
Знак плюс-мінус з'явився у Жирара (1626) та Отреда. Правда, Жирар між плюсом і мінусом писав ще словами «або».
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Піднесення до степеня. В VII столітті н. е. індійський математик Брахмагупта позначав піднесення до квадратного степеня знаком व (від — квадратне число). Сучасний запис показника степеня введений Декартом в його «Геометрії» (1637), правда, тільки для натуральних степенів, більших 2. Пізніше Ньютон поширив цю форму запису на від'ємні та дробові показники (1676), трактування яких до цього часу вже запропонували Стевін, Валліс і Жирар.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Середньовічні математики (наприклад, Кардано) позначали квадратний корінь символом або стилізованою комбінацією (від , корінь) .
Сучасне позначення знаку кореня вперше вжив німецький математик Крістоф Рудольфф, зі школи косистів, в 1525 році. Походить цей символ від стилізованої першої літери того ж слова radix. Риска над підкореневим виразом спочатку була відсутня; її пізніше ввів Рене Декарт (1637) для іншої мети (замість дужок), і ця риска незабаром злилася зі знаком кореня.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Кубічний корінь в XVI столітті позначався таким чином: Rx.u.cu (від ). Звичне нам позначення кореня довільного ступеня почав використовувати Альбер Жирар (1629). Закріпився цей формат завдяки Ньютону та Лейбніцу.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Круглі дужки з'явилися у Тартальї (1556) (для підкореневого виразу) й пізніше у Жирара. Бомбеллі використовував як початкову дужку куточок у вигляді букви L, а як кінцеву — його ж у перевернутому вигляді (1550); такий запис став прабатьком квадратних дужок. Фігурні дужки запропонував Вієт (1593). Однак більшість математиків тоді замість дужок надкреслювали виділюваний вираз. У загальну практику дужки ввели Лейбніц та Ейлер.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Знак суми ввів Ейлер в 1755 році.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Знак добутку ввів Гаус в 1812 році.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Літеру i як код уявної одиниці: запропонував Ейлер (1777), узявши для цього першу літеру слова imaginarius (уявний).
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Позначення абсолютної величини та модуля комплексного числа з'явилися у Карл Веєрштраса в 1841 році. 1903 року Лоренц використовував цю ж символіку для довжини вектора.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Символ функції «ціла частина» ввів Гаусс в 1808 році. Деякі математики воліють використовувати замість нього позначення E (x), запропоноване в 1798 році Лежандром.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Дві пари символів-куточків, які означають округлення дійсного числа до цілого в меншу або більшу сторону відповідно ввів Кеннет Айверсон в 1962 році .
Відношення
Знак рівності запропонував Роберт Рекорд в 1557 році; накреслення символу було набагато довше нинішнього. Автор пояснив, що немає в світі нічого рівнішого, ніж два паралельних відрізки однакової довжини. Деякий час поширенню символу Рекорда заважала та обставина, що з античних часів такий же символ використовували для позначення паралельності прямих; врешті-решт було вирішено символ паралельності зробити вертикальним. В континентальній Європі знак рівності був введений Лейбніцем.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Знак «приблизно дорівнює» придумав німецький математик С. Гюнтер в 1882 році.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Знак «не дорівнює» вперше зустрічається в Ейлера.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Автор знаку «тотожно дорівнює» — Бернгард Ріман (1857). Цей же символ, за пропозицією Гаусса, використовують у теорії чисел як знак порівняння по модулю, а в логіці — як знак операції еквівалентності.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Знаки порівняння ввів Томас Герріот у своєму творі, виданому посмертно в 1631 році. До нього писали словами: більше, менше.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Символи несуворого порівняння запропонував Валліс в 1670 році. Спочатку риска була вище знака порівняння, а не під ним, як зараз. Загальне поширення ці символи отримали після підтримки французького математика П'єра Бугера (1734), у якого вони набули сучасного вигляду.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Ці позначення ввели Анрі Пуанкаре та Еміль Борель (1901) і їх використовували для вказівки, що один ряд мажорирується іншим. Іноді їх використовують у такому вузькому значенні і зараз, але частіше вони означають «багато менше» та «багато більше».
Геометрія та тригонометрія <span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Символи «кут» та «перпендикулярно» придумав в 1634 році французький математик П'єр Еригон. Символ кута у Еригона нагадував значок , сучасну форму йому додав Вільям Отред (1657).
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Символ «паралельності» відомий з античних часів, його використовували Герон та Папп Александрійський. Спочатку символ був схожий на нинішній знак рівності, але з появою останнього, щоб уникнути плутанини, символ був повернений вертикально (Отред (1677), Керсі () та ін. математики XVII століття)Earliest Uses of Symbols from Geometry ..
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Сучасні позначення кутових одиниць (градуси, мінути, секунди) зустрічаються ще в «Альмагесті» Птолемея, однак в середньовічній Європі замість них писали словами: gradus, minutes, secundae. Знову ці символи використовував в 1568 році французький математик і поет Жак Пелетьє (, 1517—1582), після чого вони швидко увійшли в загальне вживання (зокрема, у Тихо Браге, Ретика та Кеплера).
Радіанну міру кутів, зручнішу для аналізу, запропонував в 1714 році англійський математик Роджер Котс. Сам термін радіан придумав в 1873 році Джеймс Томсон, брат відомого фізика лорда Кельвіна.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Загальноприйняте позначення числа 3,14159 … вперше утворив Вільям Джонс в 1706 році, взявши першу букву слів — коло та — периметр, тобто довжина кола. Це скорочення сподобалося Ейлеру, праці якого закріпили позначення остаточно.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Скорочені позначення для синуса та косинуса ввів Отред в середині XVII століття.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';"> Скорочені позначення тангенса та котангенса: введені Іоганном Бернуллі в XVIII столітті, вони набули поширення в Німеччині та Росії. В інших країнах вживаються назви цих функцій , запропоновані Альбером Жираром ще раніше, на початку XVII століття.
<span class="Unicode" style="font-family: 'Arial Unicode MS', 'Microsoft Sans Serif', 'Lucida Sans Unicode';">