В геофізиці рівняння Цьопріца () — система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2nd Edition. Exploration Seismology. Cambridge University Press. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1.. Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком (опубліковані в 1919 р. вже після його смертіZoeppritz, Karl (1919). Erdbebenwellen VII. VIIb. Über Reflexion und Durchgang seismischer Wellen durch Unstetigkeitsflächen. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 66-84.), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Кнотта в термінах потенціалів зміщення.

Ця задача була вперше розглянута Джорджем Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Цьопріц в 1907 р.

Рівняння Цьопріца є основою для AVO-аналізу — корисного методу виявлення резервуарів вуглеводнівН. В. Шалаева. AVO-анализ: физические основы, возможности и ограничения. Геленджик. 2004..

Рівняння Цьопріца для падаючої поздовжньої хвилі

Довільний кут падіння хвилі

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою зміщення під кутом , відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита (), поперечна відбита (), поздовжня заломлена () і поперечна заломлена (). Параметри середовища вказані на рисунку:  — густина,  — швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою законом Снеліуса:

,

де є хвильовим параметром.

В цьому випадку система рівнянь Цьопріца матиме наступний вигляд:

де , , .

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.

Добутки густини на швидкість (, ) називаються акустичними жорсткостями.

Нормальне падіння хвилі Для поздовжньої хвилі при нормальному падінні () відсутні тангенціальні напруження і зміщення. Тому , і рівняння Цьопріца набувають вигляду:

Розв'язком цих рівнянь відносно коефіцієнтів відбиття (R) та проходження (T) є

, .

Наближення

Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння .

Наближення Акі-Річардса

Наближення Акі-Річардса є важливою лінійною апроксимацією рівнянь Цьопріца, яке є справедливим для кутів аж до 40°.

Коефіцієнт відбиття, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми: ,

Коефіцієнт проходження, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

,

Коефіцієнт відбиття, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

,

Коефіцієнт проходження, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

,

де ,

.

Для слабо-контрастних відбиваючих границь і малих кутів справедливими є наступні наближені формули:

,

,

де .

Наближення ШуейAvesth, P, T Mukerji and G Mavko (2005). Quantitative seismic interpretation. Cambridge University Press, Cambridge, UK

Тричленне рівняння Шуей для кутів до 30–40° може бути записане у вигляді:

,

де , , .

В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні (), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.

Для кутів до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей: .

Див. також Рівняння Кнотта. AVO-аналіз.

Примітки